二项式反演

先从反演原理出发，假如存在两个数列 \(f, g\)，我们知道 \(f_n = \sum\limits_{i = 0} ^ n a_{n, i} \times g_i\)，则 \(g_n = \sum\limits_{i = 0} ^ n b_{n, i} \times f_i\) 恒成立，那么我们由 \(f\) 推出 \(g\) 的过程叫做反演。下面我们来探讨一下上面两个式子恒成立的条件，将左边带入右边，那么有：

\[\begin{aligned} g_n &= \sum\limits_{i = 0} ^ n b_{n, i} \sum\limits_{j = 0} ^ i a_{i, j} g_j\\ &= \sum\limits_{i = 0} ^ n g_i \sum\limits_{j = i} ^ n b_{n, j} \times a_{j, i} \end{aligned} \]

因此，如果反演要成立，则 \(\sum\limits_{j = i} ^ n b_{n, j} \times a_{j, i} = [i = n]\)，因此我们只需要找到这样一种恒等式，就能自己构建起一套反演体系。而我们常见的二项式反演大多来自于这样两个恒等式：

\[\sum\limits_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \dbinom{n}{i} = [n = 0] \]

\[\sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \dbinom{m}{i} \times \dbinom{i}{n} = [n = m] \]

前一个式子的证明考虑使用二项式定理 \((x + y) ^ n = \sum\limits_{i = 0} ^ n \dbinom{n}{i} x ^ i y ^ {n - i}\)，令 \(x = -1, y = 1\) 即可。

再来考虑证明后一个式子：

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \dbinom{m}{i} \times \dbinom{i}{n} &= \sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \dbinom{m}{n} \times \dbinom{m - n}{i - n}\\ &= \dbinom{m}{n} \sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \times \dbinom{m - n}{i - n}\\ &=\dbinom{m}{n} \sum\limits_{i = 0} ^ {m - n} (-1) ^ i \times \dbinom{m - n}{i} \end{aligned} \]

最后一步同样考虑二项式定理 \(\dbinom{m}{n} \times (-1 + 1) ^ {m - n} = \dbinom{m}{n} \sum\limits_{i = 0} ^ {m - n} (-1) ^ i \times \dbinom{m - n}{i} = [n = m]\)。

那么我们能通过这两个恒等式造出那些反演公式呢？

第一个恒等式最经典的即 \(f_n = \sum\limits_{i = n} ^ m \dbinom{m}{i} g_i \times k_i, g_0 = \sum\limits_{i = 0} ^ m (-1) ^ i f_i\)，也就是我们通常使用的容斥。组合意义即钦定 \(i\) 个位置非法其余位置随意的方案，然后计算出没有位置非法的方案。虽然上面的式子推出来与反演原理不同，但将左边带入右边最终证明是与式一是完全一致的。

接下来是由式二带出来的反演公式：

\[f_n = \sum\limits_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \dbinom{n}{i} g_i, g_n = \sum\limits_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \dbinom{n}{i} f_i \]

这是一个极其对称的式子，也非常的好记，但一般而言 \(f, g\) 的关系会是下面这种形式：

\[f_n = \sum\limits_{i = 0} ^ n \dbinom{n}{i} g_i, g_n = \sum\limits_{i = m} ^ n (-1) ^ {n - i} \dbinom{n}{i} f_i \]

注意这里 \(i\) 可以从 \(m\)（一个任意的数）开始，因为运用上面的恒等式二的方法证明时不需要保证 \(i\) 从 \(0\) 开始。

然而，二项式定理一般出现最多的情况是下面这种：

\[f_n = \sum\limits_{i = n} ^ m \dbinom{i}{n} g_i, g_n = \sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \dbinom{i}{n} f_i \]

同样把左边带入右边与恒等式二本质相同的证法即可证明。其实，二项式定理扩展到高维形式也是成立的，接下来的做题记录当中将会提到。