矩阵

矩阵

矩阵的乘法运算

定义

\[A(a_{i,j})_{s\times m}= \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12}&...& a_{1m} \\ a_{21} & a_{22}&...& a_{2m} \\ \vdots & \vdots && \vdots\\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots& a_{sm} \end{matrix} \right) B(b_{i,j})_{m\times n}= \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12}&...&b_{1n} \\ b_{21} & b_{22}&...&b_{2n} \\ \vdots&\vdots&&\vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots&b_{mn} \end{matrix} \right)\\ \]

\[定义AB=C(c_{i,j})_{s\times n}\\ c_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}A(i:k)\times B(k:j)=\sum_{k=1}^{m}a_{i,k}b_{k,j} \]

代码实现

以n级矩阵为例

通常采用结构体定义矩阵，方便运算

const int N=10010;
struct mat{
    int w[N][N];
};
mat mat_mul(mat x,mat y){
    mat res;
    memset(res.w,0,sizeof(res.w));
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            for(int k=0;k<=n;k++){
                res.w[i][j]+=x.w[i][k]*y.w[k][j];
            }
        }
    }
}

性质

注意，矩阵乘法无交换律

1.结合律

\[(AB)C=A(BC) \]

矩阵快速幂

由于矩阵乘法存在结合律

因此便可以采用分治的思想，求一个矩阵的n次方

例题P1962 斐波那契数列

\[F_n = \left\{\begin{aligned} 1 \space (n \le 2) \\ F_{n-1}+F_{n-2} \space (n\ge 3) \end{aligned}\right. \]

请你求出 \(F_n \bmod 10^9 + 7\)​ 的值。

构造矩阵

\[\because \left( \begin{matrix} F_n&F_{n-1} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} F_{n-1}&F_{n-2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1&1\\ 1&0 \end{matrix} \right)\\ \therefore \left( \begin{matrix} F_n&F_{n-1} \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1&1\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&1\\ 1&0 \end{matrix} \right)^{n-2} \]

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
struct mat{
    ll a[2][2];
};
mat mat_mul(mat x,mat y){
    mat res;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    for(int i=0;i<2;i++){
        for(int j=0;j<2;j++){
            for(int k=0;k<2;k++){
                res.a[i][j]=(res.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
            }
        }
    }
    return res;
}
ll mat_pow(ll n){
    mat res,base;
    base.a[0][0]=1;base.a[0][1]=1;base.a[1][0]=1;base.a[1][1]=0;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    res.a[0][0]=1;
    res.a[0][1]=1;
    while(n){
        if(n&1)res=mat_mul(res,base);
        base=mat_mul(base,base);
        n>>=1;
    }
    return res.a[0][0];
}
ll n;
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    if(n<=2){
        printf("1");
        return 0;
    }
    printf("%lld",mat_pow(n-2));
	return 0;
}

练习

构造转移的矩阵即可

1.P1349 广义斐波那契数列

广义的斐波那契数列是指形如 \(a_n=p\times a_{n-1}+q\times a_{n-2}\) 的数列。

今给定数列的两系数 \(p\) 和 \(q\)，以及数列的最前两项 \(a_1\) 和 $ a_2$，另给出两个整数 \(n\) 和 \(m\)，试求数列的第 \(n\) 项 \(a_n\) 对 \(m\) 取模后的结果。

2.P1939 矩阵加速（数列）

已知一个数列 \(a\)，它满足：

\[a_x= \begin{cases} 1 & x \in\{1,2,3\}\\ a_{x-1}+a_{x-3} & x \geq 4 \end{cases} \]

求 \(a\) 数列的第 \(n\) 项对 \(10^9+7\) 取余的值。

3.P3390 【模板】矩阵快速幂

\(给定n\times n 的矩阵A,求A^k\)