KMP 入门

前传：BF 算法

BF 算法即为暴力解法，一位一位向下匹配。

时间复杂度约为 \(O(n \times m)\)。

KMP

KMP 算法的主要思想是利用部分匹配信息，避免重复匹配，提高字符串查找效率。

KMP 算法总时间复杂度是 \(O(n + m)\)，匹配用时 \(O(n)\)。

\(m\) 为模式串长度，\(n\) 为目标串长度。

KMP 算法第一步：构造 \(kmp\) 数组

思路

\(kmp_i\) 存储的是 模式串 \(s2_{1 \sim i}\) 的最长相同前后缀的长度。

例子如下：

字符串：`a b a b a`
kmp数组：0 0 1 2 3

aba，前后的 a 相同，故 \(kmp_3 = 1\)。

ababa，前后的 aba 相同，故 \(kmp_5 = 3\)。

代码理解

kmp[1] = 0;
int len1 = strlen(s1 + 1);
int len2 = strlen(s2 + 1);
int j = 0;
for (int i = 2; i <= len2; i++)
{
	while (j && s2[i] != s2[j + 1])
		j = kmp[j];
	if (s2[j + 1] == s2[i])
		j++;
	kmp[i] = j;
}

• \(j\) 代表当前计算 \(kmp_i\) 时，前后缀匹配的长度。
• 逻辑：
  • 若 \(s2_i = s2_{j + 1}\)，说明 \(j + 1\) 位置也能匹配前后缀相同，\(j \gets j + 1\) 并记录到 \(kmp_i\)。
  • 若 \(s2_i \neq s2_{j + 1}\)，使用 \(j \gets kmp_j\) 回退，直到可以匹配或 \(j = 0\)。

KMP 算法匹配过程

前面说过了：

KMP 算法的主要思想是利用部分匹配信息，避免重复匹配。

我们求相同前后缀就是为了更好的跳跃。

如图所示，由于前后缀相同，我们可以直接跳跃至后缀部分，省去中间部分一位位匹配。

此部分代码如下：

	j = 0;
	for (int i = 1; i <= len1; i++)
	{
		while (j && s1[i] != s2[j + 1])
			j = kmp[j];
		if (s2[j + 1] == s1[i])
			j++;
		if (j == len2)
		{
			cout << i - len2 + 1 << "\n";
			j = kmp[j];
		}
	}

P3375 AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

char s1[1000005], s2[1000005];
int kmp[1000005];

int main()
{
	cin >> s1 + 1;
	cin >> s2 + 1;
	kmp[1] = 0;
	int len1 = strlen(s1 + 1);
	int len2 = strlen(s2 + 1);
	
	int j = 0;
	for (int i = 2; i <= len2; i++)
	{
		while (j && s2[i] != s2[j + 1])
			j = kmp[j];
		if (s2[j + 1] == s2[i])
			j++;
		kmp[i] = j;
	}
	j = 0;
	for (int i = 1; i <= len1; i++)
	{
		while (j && s1[i] != s2[j + 1])
			j = kmp[j];
		if (s2[j + 1] == s1[i])
			j++;
		if (j == len2)
		{
			cout << i - len2 + 1 << "\n";
			j = kmp[j];
		}
	}
	for (int i = 1; i <= len2; i++)
		cout << kmp[i] << " ";
	return 0;
}

后记

感谢能看到这里！

欢迎对本文提各种学术性的建议！

图较丑，比较糊，勿喷，谢谢。