分式的带入求值

因为感觉写的东西有极大的可能是错的，所以公开，希望路人指正。

感谢 @黄队 @Elegia 的群中指导！

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普通的分式带入求值

分式形如 \(F(x) = \frac{G(x)}{H(x)}\)，这里 \(G(x)\) 和 \(H(x)\) 也可以是分式。

比如当 \(G(x) = x\)，\(H(x) = x ^ 2 + 1\) 时，\(F(x) = \frac{x}{x ^ 2 + 1}\)。

将 \(x = 5\) 带入，可以得到 \(F(5) = \frac{5}{26}\)。

易证，对于所有的 \(x\in R\)，将 \(x\) 带入都可以得到合法的值。

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带入后分子 \(= 0\) 分母 \(\ne 0\)

这其实并不是一个很特殊的 case，就是为了让自己区分一下。

比如上面的 \(x = 0\) 时，分式值 \(F(0) = 0\)。

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带入后分子 \(\ne 0\) 分母 \(= 0\)

大部分情况下这样就当它 \(\to \infty\) 就好了。

比如 \(\frac{x + 1}{x}\) 当 \(x = 0\) 时确实就是挂了（不要无中生有乘个 \(x\) 上去啊）。

可是这里有一种特殊情况：当分子分母都是类似的类型时。

其实可能还有好多特殊情况，但是萌新只遇到过这种。

比如 \(G(x) = \frac{x ^ 2}{x - 1}\)，\(H(x) = \frac{x + 1}{x - 1}\)，\(F(x) = \dfrac{\frac{x ^ 2}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1}}\)。

当 \(x = 1\) 时，那么可以上下同乘 \(x - 1\)，就可以算了。

注：这里需要在带入之前乘，要不然乘 \(x - 1\) 就变成了乘 \(0\)。
其实就是需要在带入之前合法操作多项式，使得带入之后合法。

应该大部分时候，多乘几个 \(x - 1\) 上去玩玩都是没问题的，

可是很可能，乘多了会出现 \(0 / 0\) 或 \(\infty/\infty\) 的现象，具体见下文。

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带入后分子 \(= 0\) 且分母 \(= 0\)

要用到洛必达法则！简单得说，洛必达法则就是

当带入 \(x = x_0\) 后分式变成 \(0/0\) 或 \(\infty/\infty\) 型的时，\(F(x_0) = \frac{G'(x_0)}{H'(x_0)}\)。

如果分子分母求导后还是 \(0/0\) 或 \(\infty/\infty\)，就再导一次，一直导到不是这样为止。

然后或许就会转到上面的某种情况之一什么的？

至于证明，知乎 上有好多长篇大论，萌新无才，就把证明咕了。

比如 \(F(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}\) 时带入 \(x = 1\)。

根据直觉或约分，可以发现 \(\lim_{x\to 1}F(x) = 2\)。

根据洛必达法则，\(F(1) = \frac{2}{1} = 2\)。这样勉强验证了它是对的。

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其他

感觉分式带入求值什么的有些过于玄学，或许也是萌新探究不深。

有些时候分式带入求值或许有很多种方法，或许都是对的（？）。

比如在求导之前之后处理分式什么的，萌新也不太懂……

就先写到这里了。