笔记-洛谷P7275 计树

luogu

容易转化问题：分成若干条极长链然后接成树。

根据 prufer 序列，设 \(m\) 条链的大小为 \(a_i\)，那么树的方案树为 \(n^{m-2} \prod_{i=1}^m a_i\)。

所以对于任意链的生成函数：

\[C(x)=\sum_{i=2}^n ni x^i \]

如果直接 \(F(x)=\sum_{i=1}^{n}C(x)^i\)，会计重（两条链接成了更大的链）。

考虑在生成函数内部算一个大小为 \(i\) 的链的时候，加上它的容斥系数 \(G(x)[x^i]\)：

\[\begin{aligned}\sum G(x)+G(x)^2+G(x)^3+\cdots&=x^2+x^3+x^4+\cdots \\ \frac{1}{1-G(x)}-1&=\frac{1}{1-x}-x-1\\ G(x)&=\frac{x^2}{1-x+x^2}\\ &=\{0,0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,0,\dots\}\\ \end{aligned}\]

\[\therefore C(x)=\sum_{i=2}^n niG(x)[x^i] x^i \]

所以答案就是 \(F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}C(x)^i =\frac{1}{1-C(x)}\)。

别忘了取第 \(n\) 项除 \(n^2\)，aclink。