树链剖分-重链剖分
参考资料：
https://www.cnblogs.com/ivanovcraft/p/9019090.html
https://www.cnblogs.com/hanruyun/p/9577500.html
前置知识：
树的性质（深度，子树大小，距离，祖先等）
线段树，树状数组
树链剖分
树链剖分可以说是个数据结构，但是更是个存储、操作树上信息的方法。树链剖分的主要思想是把一棵树拆成若干条链，并建立数据结构进行存储、操作，根据拆的方法不同，分为重链剖分和长链剖分。重链剖分用得较多，蒟蒻也更喜欢重链剖分，这篇就讲重链剖分。
重链剖分
例题
为了让萌新对重链剖分有所了解，蒟蒻拿出了例题（几乎包括了重链剖分的所有操作）：
有一棵 \(n\) 个节点的树，每个节点有权值，初始时为 \(a\{n\}\)。有 \(m\) 个如下操作：
操作 \(1\)： \(1\ x\ y\ z\) 表示将树从 \(x\) 到 \(y\) 结点最短路径上所有节点的值都加上 \(z\)。
操作 \(2\)： \(2\ x\ y\) 表示求树从 \(x\) 到 \(y\) 结点最短路径上所有节点的值之和。
操作 \(3\)： \(3\ x\ z\) 表示将以 \(x\) 为根节点的子树内所有节点值都加上 \(z\)。
操作 \(4\)： \(4\ x\) 表示求以 \(x\) 为根节点的子树内所有节点值之和。
数据范围：\(1\le n,m\le 10^5\)。
重点
看了例题后，先看重链剖分关键概念：
重儿子：父亲节点的子节点中子树大小最大的。
轻儿子：父亲节点的子节点中除了重儿子的节点。
重边：父亲节点与重儿子连成的边。
轻边：父亲节点与轻儿子连成的边（即除了重边以外的边）。
重链：由重边构成的极长路径。
轻链：由轻边构成的极长路径。
链头：重链中深度最小的节点，是个轻儿子。
特殊的，根节点一般被看作轻儿子。
如下图：
黑色节点是轻儿子，橙色节点是重儿子。黑色边是轻边，橙色边是重边。底下有橙线的节点单独为一条重链。
图中一共有 \(5\) 条重链：
- \(1\to 3\to 8\to 9\)。
- \(2\to 5\)。
- \(4\)。
- \(6\)。
- \(7\)。
每个轻儿子下面都有一条重链，所以重链数 \(=\) 轻儿子数。
这里有一个关键性的性质，使得树链剖分有实际意义：
任何一个节点到根节点的路径中，包含不超过 \(\log n\) 条重链。
简证：重链与重链间用轻边连接，所以一个节点到根节点的路径中的重链数 \(=\) 轻边数 \(+1\)。轻边连的子树大小较小，所以必然 \(< \frac 12\) 父亲节点子树大小。所以一个节点到根节点的路径中最多有 \(\log_2n\) 条轻边，所以一个节点到根节点的路径中，包含不超过 \(\log n\) 条重链。
如果重节点优先地 \(\texttt{Dfs}\) 遍历整棵树，为每个节点标上序号，如下：
那么同个重链、同个子树的节点序号就是连续的了。
所以可以维护棵线段树，把修改查询子树转换为区间修改查询，把修改查询最短路径转换为几个区间修改查询（上文提到，任何一个节点到根节点的路径中，包含不超过 \(\log n\) 条重链。所以可以通过修改 \(\log n\) 个区间，达到 \(\Theta(\log n)\) 的修改查询最短路径的目的）。
然后树链剖分的思想就到这里了，如果你理解了，就可以看操作实现了。
操作实现
重链剖分的第一步都是两个 \(\texttt{Dfs}\)：
第一个求出每个节点的深度、子树大小、父亲节点、重儿子：
void Dfs1(int x){
sz[x]=1,dep[x]=dep[fa[x]]+1;
for(int to:e[x])if(to!=fa[x]){
fa[to]=x,Dfs1(to),sz[x]+=sz[to];
if(sz[to]>sz[son[x]]) son[x]=to;
}
}
第二个找每条重链，并且为节点标上序号：
void Dfs2(int x,int an){
tp[x]=an,dfn[x]=++ind,rk[ind]=x;
if(son[x]) Dfs2(son[x],an);
for(int to:e[x]) if(to!=fa[x]&&to!=son[x]) Dfs2(to,to);
}
\(\texttt{Dfs}\) 完后，可以造数据结构了。就拿例题来说，需要造一棵线段树。线段树的任务有维护区间和，区间修改。可以用 \(\texttt{lazytag+pushdown}\)：
lng v[(N<<2)+7],ma[(N<<2)+7];
#define mid ((l+r)>>1)
void pushdown(int k,int l,int r){
if(!ma[k]) return;
(v[k<<1]+=ma[k]*(mid-l+1))%=mod;
(v[k<<1|1]+=ma[k]*(r-mid))%=mod;
(ma[k<<1]+=ma[k])%=mod;
(ma[k<<1|1]+=ma[k])%=mod;
ma[k]=0;
}
void build(int k=1,int l=1,int r=n){
if(l==r){v[k]=a[rk[l]];return;}
build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r),v[k]=v[k<<1]+v[k<<1|1];
}
void fixson(int x,int y,lng z,int k=1,int l=1,int r=n){ // 修改子树（序号区间）权值
if(x<=l&&r<=y){(ma[k]+=z)%=mod,v[k]+=z*(r-l+1);return;}
pushdown(k,l,r);
if(mid>=x)fixson(x,y,z,k<<1,l,mid);
if(mid<y)fixson(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
v[k]=v[k<<1]+v[k<<1|1];
}
lng sumson(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){ // 求子树（序号区间）权值和
if(x<=l&&r<=y) return v[k];
lng res=0;
pushdown(k,l,r);
if(mid>=x) res+=sumson(x,y,k<<1,l,mid);
if(mid<y)res+=sumson(x,y,k<<1|1,mid+1,r);
return res%mod;
}
至于修改查询最短路径，依赖于序号区间修改查询。依次遍历最短路径上的每条重链，整个操作过程如同求 \(\texttt{LCA}\)：
void fixdis(int x,int y,int z){ //修改最短路径权值
for(;tp[x]!=tp[y];fixson(dfn[tp[x]],dfn[x],z),x=fa[tp[x]])
if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]]) swap(x,y);
fixson(min(dfn[x],dfn[y]),max(dfn[x],dfn[y]),z);
}
lng sumdis(int x,int y){ //求最短路径权值和
lng res=0;
for(;tp[x]!=tp[y];(res+=sumson(dfn[tp[x]],dfn[x]))%=mod,x=fa[tp[x]])
if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]]) swap(x,y);
return (res+sumson(min(dfn[x],dfn[y]),max(dfn[x],dfn[y])))%mod;
}
然后例题就迎刃而解了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//Start
#define lng long long
#define db double
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rz resize
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
//Data
const int N=1e5;
int n,m,rt; lng mod,a[N+7]; vector<int> e[N+7];
//Treesplit
int ind,fa[N+7],sz[N+7],dep[N+7],son[N+7],tp[N+7],dfn[N+7],rk[N+7];
void Dfs1(int x){
sz[x]=1,dep[x]=dep[fa[x]]+1;
for(int to:e[x])if(to!=fa[x]){
fa[to]=x,Dfs1(to),sz[x]+=sz[to];
if(sz[to]>sz[son[x]]) son[x]=to;
}
}
void Dfs2(int x,int an){
tp[x]=an,dfn[x]=++ind,rk[ind]=x;
if(son[x]) Dfs2(son[x],an);
for(int to:e[x]) if(to!=fa[x]&&to!=son[x]) Dfs2(to,to);
}
lng v[(N<<2)+7],ma[(N<<2)+7];
#define mid ((l+r)>>1)
void pushdown(int k,int l,int r){
if(!ma[k]) return;
(v[k<<1]+=ma[k]*(mid-l+1))%=mod;
(v[k<<1|1]+=ma[k]*(r-mid))%=mod;
(ma[k<<1]+=ma[k])%=mod;
(ma[k<<1|1]+=ma[k])%=mod;
ma[k]=0;
}
void build(int k=1,int l=1,int r=n){
if(l==r){v[k]=a[rk[l]];return;}
build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r),v[k]=v[k<<1]+v[k<<1|1];
}
void fixson(int x,int y,lng z,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y){(ma[k]+=z)%=mod,v[k]+=z*(r-l+1);return;}
pushdown(k,l,r);
if(mid>=x)fixson(x,y,z,k<<1,l,mid);
if(mid<y)fixson(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
v[k]=v[k<<1]+v[k<<1|1];
}
lng sumson(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y) return v[k];
lng res=0;
pushdown(k,l,r);
if(mid>=x) res+=sumson(x,y,k<<1,l,mid);
if(mid<y)res+=sumson(x,y,k<<1|1,mid+1,r);
return res%mod;
}
void fixdis(int x,int y,int z){
for(;tp[x]!=tp[y];fixson(dfn[tp[x]],dfn[x],z),x=fa[tp[x]])
if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]]) swap(x,y);
fixson(min(dfn[x],dfn[y]),max(dfn[x],dfn[y]),z);
}
lng sumdis(int x,int y){
lng res=0;
for(;tp[x]!=tp[y];(res+=sumson(dfn[tp[x]],dfn[x]))%=mod,x=fa[tp[x]])
if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]]) swap(x,y);
return (res+sumson(min(dfn[x],dfn[y]),max(dfn[x],dfn[y])))%mod;
}
//Main
int main(){
scanf("%d%d%d%lld",&n,&m,&rt,&mod);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++) scanf("%d%d",&x,&y),e[x].pb(y),e[y].pb(x);
Dfs1(rt),Dfs2(rt,rt),build();
for(int i=1;i<=m;i++){
int o,x,y; lng z; scanf("%d",&o);
if(o==1) scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z),fixdis(x,y,z);
else if(o==2) scanf("%d%d",&x,&y),printf("%lld\n",sumdis(x,y));
else if(o==3) scanf("%d%lld",&x,&z),fixson(dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1,z);
else if(o==4) scanf("%d",&x),printf("%lld\n",sumson(dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1));
}
return 0;
}
特例
有些题目要维护的是边的权值（例题维护的是点的权值），比如[USACO11DEC]Grass Planting G，方法是用点存储它与父亲节点相连的边的权值，具体看代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//Start
#define lng long long
#define db double
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rz resize
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
//Data
const int N=1e5;
int n,m;
vector<int> e[N+7];
//Treesplit
int ind,fa[N+7],son[N+7],sz[N+7],dep[N+7],dfn[N+7],rk[N+7],tp[N+7];
void Dfs1(int x){
sz[x]=1,dep[x]=dep[fa[x]]+1;
for(int to:e[x])if(to!=fa[x]){
fa[to]=x,Dfs1(to),sz[x]+=sz[to];
if(sz[to]>sz[son[x]]) son[x]=to;
}
}
void Dfs2(int x,int f){
tp[x]=f,dfn[x]=++ind,rk[ind]=x;
if(son[x]) Dfs2(son[x],f);
for(int to:e[x])if(to!=fa[x]&&to!=son[x]) Dfs2(to,to);
}
int v[(N<<2)+7],ma[(N<<2)+7];
#define mid ((l+r)>>1)
void pushdown(int k,int l,int r){
if(!ma[k]) return;
v[k<<1]+=ma[k],v[k<<1|1]+=ma[k];
ma[k<<1]+=ma[k],ma[k<<1|1]+=ma[k],ma[k]=0;
}
void fixson(int x,int y,int z,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y){v[k]+=z,ma[k]+=z;return;}
if(l==r) return; // 因为可能出现无边情况
pushdown(k,l,r);
if(mid>=x) fixson(x,y,z,k<<1,l,mid);
if(mid<y) fixson(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
v[k]=max(v[k<<1],v[k<<1|1]);
}
int sumson(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y) return v[k];
if(l==r) return 0; // 因为可能出现无边情况
int res=0;
pushdown(k,l,r);
if(mid>=x) res=max(res,sumson(x,y,k<<1,l,mid));
if(mid<y) res=max(res,sumson(x,y,k<<1|1,mid+1,r));
return res;
}
void fixdis(int x,int y,int z){
for(;tp[x]!=tp[y];fixson(dfn[tp[x]],dfn[x],z),x=fa[tp[x]])
if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]]) swap(x,y);
fixson(min(dfn[x],dfn[y])+1,max(dfn[x],dfn[y]),z); //+1 表示最短路径的最近公共祖先和其父亲连的边不改
}
int sumdis(int x,int y){
int res=0;
for(;tp[x]!=tp[y];res+=sumson(dfn[tp[x]],dfn[x]),x=fa[tp[x]])
if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]]) swap(x,y);
return res+sumson(min(dfn[x],dfn[y])+1,max(dfn[x],dfn[y])); //+1 表示最短路径的最近公共祖先和其父亲连的边不算
}
//Main
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,x,y;i<n;i++) scanf("%d%d",&x,&y),e[x].pb(y),e[y].pb(x);
Dfs1(1),Dfs2(1,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
vector<char> s(5); int x,y;
scanf("%s%d%d",&s[1],&x,&y);
if(s[1]=='P') fixdis(x,y,1);
else if(s[1]=='Q') printf("%d\n",sumdis(x,y));
}
return 0;
}
然后就这样讲完了，非常简单的东西。例题就不给了，到洛谷上随便撸几道即可。
祝大家学习愉快！
