随笔分类 - 数论
恶补
摘要：$T$ 组测试数据，每次给 $n,a$。有一个长度为 $n$ 的珍珠项链，每个珍珠上有 $3$ 个数构成一个环。旋转、翻转同构的珍珠相同。相邻的珍珠必须不同，旋转同构的项链相同。求本质不同的项链个数。答案对 $10^9+7$ 取模。
数据范围：$1\le n\le 10^{14}$，$1\le a\le 10^7$。
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摘要：给定 $a\{n\}$ 和 $b\{m\}$ 和质数 $p$。对于每个 $a_i$，生成一个集合，刚开始只有 $1$，每次从集合中选一个元素 $c$，对于所有的 $j$，如果满足 $c\times a_i^{b_j}\bmod p$ 不在当前集合，就把它加入集合。求 $n$ 个集合并的大小。
数据范围：$1\le n\le 10^4$，$1\le m\le 10^5$，$2\le p\le 10^9$。
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摘要：求有多少个本质不同的无向图基环树，有 $n$ 个点且环上的点数 $\le m$。答案对 $p$ 取模。
数据范围：$3\le n\le 1000$，$3\le m\le 50$，$10^4\le p\le 2\times 10^9$。
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摘要：题面 CF755G PolandBall and Many Other Balls 给定 \(n\) 和 \(m\)。有一排 \(n\) 个球，求对于每个 $1\le k\le m$，选出 \(k\) 个球或相邻的球不能重复的方案数。 数据范围：$1\le n\le 109$，$1\le m<2{1
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摘要：有 $n$ 个在 $[1,d]$ 内的整数，求使可以拿出 $2m$ 个整数凑成 $m$ 个相等的整数对的方案数。
数据范围：$0\le m\le 10^9$，$1\le n\le 10^9$，$1\le d\le 10^5$。
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摘要：$T$ 组测试数据。有 $n$ 个音节，每个音节 $h_i\in[1,A]$，还有 $m$ 个限制 $(l_i,r_i,g_i)$ 表示 $\max_{k=l_i}^{r_i}h_k=g_i$。求满足条件的 $h_i$ 的方案数膜 $998244353$。
数据范围：$1\le T\le 20$，$1\le l_i\le r_i\le n\le 9\cdot 10^8$，$1\le g_i\le A\le 9\cdot 10^8$，$1\le m\le 500$。
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摘要：给定 $n,p$，求：
$$ans=\left(\prod_{x=1}^n\prod_{y|x}\frac{y^{d(y)}}{\prod_{z|y}(z+1)^2}\right)\bmod p$$
数据范围：$1\le n\le 2.5\cdot 10^9$，$9.9\cdot 10^8
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摘要：有 $n$ 个不同的盒子和 $m$ 种不同的球，第 $i$ 种球有 $a_i$ 个，用光所有球，求使每个盒子不空的方案数。
数据范围：$1\le n,m,a_i\le 1000$。
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摘要：给定 $p$，$Cnt$ 组测试数据，每次给 $a,b,c$，求
$$\prod_{i=1}^a\prod_{j=1}^b\prod_{k=1}^c\left(\frac{{\rm lcm}(i,j)}{\gcd(i,k)}\right)^{f(t)}\bmod p$$
$t\in\{0,1,2\}$，$f(0)=1,f(1)=ijk,f(2)=\gcd(i,j,k)$。
数据范围：$1\le a,b,c\le 10^5$，$10^7\le p\le 105\cdot 10^7$，$p\in\mathbb{P}$，$1\le Cnt\le 70$。
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摘要：有 $n$ 天，每天插入一个字符集大小为 $c$ 长度为 $l$ 的字符串，求每一天建立 $\tt Trie$ 树的期望节点数（根节点不算）模 $998244353$。
数据范围：$1\le n\le 10^5$，$1\le c,l\le 10^9$。
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摘要：$$\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \varphi(\gcd(i,j))\right)\bmod 10^9+7$$
数据范围：$1\le n\le 10^{10}$。
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摘要：给定 $n$ 和 $a_i(1\le i\le n)$，$m$ 和 $b_j(1\le j\le m)$，求对于每个 $j$，$a_i$ 区间 $\gcd$ 为 $b_j$ 的区间数。
数据范围：$1\le n\le 4\cdot 10^6$，$1\le m\le 2\cdot 10^5$，$1\le a_i,b_i\le 4\cdot 10^4$。
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摘要：杜教筛 参考资料： https://blog.csdn.net/Ike940067893/article/details/84781307 https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/P4213 前置知识： 基础数论</> 欧拉函数</> 积性函数+狄利
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