聊一聊粗糙集(四)

本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。

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本节将介绍经典粗糙集中粒度的度量相关概念。
我们依旧使用这个决策信息系统为例。

\(U\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(e\)	\(f\)	\(d\)
1	0	1	1	1	0	1
2	1	1	0	1	0	1
3	1	0	0	0	1	0
4	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	1	0
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	1	0	1
9	1	0	0	1	0	0

知识粒度

知识粒度定义如下：
给定一个决策信息系统\(S=(U,A=C \bigcup D,V,f)\)，\(U\)为论域，若\(B \subseteq C\)，\(U/B=\{X_{1},X_{2},...,X_{m}\}\)，共有\(m\)个等价类，则\(B\)的知识粒度\(GP_{U}(B)\)为:

\[GP_{U}(B)=\sum_{i=1}^{m} \frac{|X_{i}|^2}{|U|^2} \]

在粗糙集中，等价类的粒度越细，其划分能力就越强，近似集越精确；否则划分能力就弱，近似集越粗糙。
其中，\(\frac{1}{|U|} \leq GP_{U}(B) \leq 1\)。当\(U/B=\{X_{1},X_{2},...,X_{|U|} \}\)，\(|U|\)是\(U\)元素的个数，此时知识粒度最小\(\frac{1}{|U|}\)，划分能力最强；当 \(U/B=\{U\}\)，此时知识粒度最大\(1\)，划分能力最弱。

例如，在上表中：

\[U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\}\} \]

则\(C\)的知识粒度为：

\[GP_{U}(C)=\sum_{i=1}^{5}\frac{|X_{i}|^2}{|U|^2} \]

\[= \frac{1^2+2^2+2^2+2^2+2^2}{9^2} \]

\[= \frac{17}{81} \]

相对知识粒度的定义如下：
给定一个决策信息系统\(S=(U,A=C \bigcup D,V,f)\)，\(U\)为论域，若\(P,Q \subseteq A\)，\(U/P=\{X_{1},X_{2},...,X_{m} \}\)，\(U/Q=\{Y_{1},Y_{2},...,Y_{n} \}\)。则\(Q\)关于\(P\)的相对知识粒度为

\[GP_{U}(Q \mid P)=GP_{U}(P)-GP_{U}(P \bigcup Q) \]

例如，在上表中，考虑条件属性集\(C\)，决策属性集\(D\)，有

\[U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\} \} \]

\[U/C \bigcup D=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8\},\{9\} \} \]

则\(D\)关于\(C\)的相对知识粒度为

\[GP_{U}(D \mid C)=GP_{U}(C)-GP_{U}(C \bigcup D)= \]

\[=\frac{17}{81}-\frac{15}{81}=\frac{2}{81} \]

\(GP_{U}(Q \mid P)\)表示\(Q\)相对于\(P\)的分类能力。\(GP_{U}(Q \mid P)\)值越大，表示\(Q\)相对于\(P\)对论域\(U\)分类能力越强；反之，分类能力越弱。

属性重要度

内部属性重要度定义如下：
给定一个决策信息系统\(S=(U,A=C \bigcup D,V,f)\)，\(U\)为论域，\(B \subseteq C\)，若\(\forall a \in B\)。
则属性\(a\)关于条件属性集\(B\)相对于决策属性集\(D\)的内部属性重要度为：

\[Sig_{U}^{inner}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B-\{a\})-GP_{U}(D \mid B) \]

以上表为例，考虑属性\(a\)关于条件属性集\(C\)相对于决策属性集\(D\)的内部属性重要度：

\[Sig_{U}^{inner}(a,C,D)=GP_{U}(D \mid C-\{a\})-GP_{U}(D \mid C) \]

\[=\{ GP_{U}(C-\{a\})-GP_{U}((C-\{a\}) \bigcup D) \}-\{GP_{U}(C)-GP_{U}(C \bigcup D)\} \]

考虑\(C-\{a\}\)，\(\{C-\{a\}\} \bigcup D\)。

\[U/(C-\{a\})=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\} \} \]

\[U/(\{C-\{a\}\} \bigcup D)=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8\},\{9\} \} \]

所以

\[Sig_{U}^{inner}(a,C,D)=\{ \frac{17}{81}-\frac{15}{81}\} - \{\frac{17}{81}-\frac{15}{81} \}=0 \]

外部属性重要度定义如下：
给定一个决策信息系统\(S=(U,A=C\bigcup D,V,f)\)，\(U\)为论域，\(B \subseteq C\)，若\(\forall a \in (C-B)\)
则属性\(a\)关于条件属性集\(B\)相对于决策属性集\(D\)的内部属性重要度为：

\[Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B)-GP_{U}(D \mid B \bigcup \{a\}) \]

还是以上表为例，若\(B=\{c,e,f\}\)，考虑属性\(a\)关于条件属性集\(B\)相对于决策属性集\(D\)的内部属性重要度：

\[Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B)-GP_{U}(D \mid B \bigcup \{a\}) \]

\[=\{ GP_{U}(B)-GP_{U}(B\bigcup D)\} - \{ GP_{U}(B \bigcup \{a\})-GP_{U}((B\bigcup \{a\}) \bigcup D) \} \]

考虑\(B\)，\(B\bigcup D\)，\(B \bigcup \{a\}\)，\((B\bigcup \{a\}) \bigcup D\)。

\[U/B=\{\{1\},\{2,4,8,9\},\{3,5\},\{6,7\}\} \]

\[U/(B\bigcup D)=\{\{1\},\{2,4,8\},\{9\},\{3,5\},\{6,7\} \} \]

\[U/(B \bigcup \{a\})=\{\{1\},\{2,4,8,9\},\{3,5\},\{6,7\}\} \]

\[U/((B\bigcup \{a\}) \bigcup D)=\{\{1\},\{2,4,8\},\{9\},\{3,5\},\{6,7\} \} \]

所以

\[Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=\{ \frac{17}{81}-\frac{15}{81}\} - \{\frac{17}{81}-\frac{15}{81} \}=0 \]

必要属性定义如下： 给定一个决策信息系统$S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$，$U$为论域，如果$Sig_{U}^{inner}(a,C,D)>0 $，则称属性$a$是决策信息系统条件属性集$C$相对于决策属性集$D$的必要属性。

特别地，\(S\)的核属性被定义为

\[Core_{C}(D)=\{a \in C \mid Sig_{U}^{inner}(a,B,D)>0 \} \]

显然，属性\(a\)不是核属性。

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本文参考了：

• 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.