聊一聊粗糙集(三)

本节我们继续更新粗糙集相关的内容。

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本文与之前的博客一脉相承。

上近似和下近似

以之前病人病历为例，这里我们使用体温这个属性。

病人	体温
\(e_{1}\)	正常
\(e_{2}\)	高
\(e_{3}\)	很高
\(e_{4}\)	正常
\(e_{5}\)	高
\(e_{6}\)	很高
在这个信息系统中 \(S=(U,C)\)，其中\(U\)为论域，\(C=\{c_{3} \}\)，\(c_{3}\)是体温这个属性。
那么，

\[U/C=\{\{e_{3},e_{6} \},\{e_{2},e_{5} \},\{e_{1},e_{4} \} \}=\{X_{1},X_{2},X_{3}\} \]

可以看出体温这个属性被划分成了三类，很高，高和正常。

若给定一个集合\(X\)，\(X=\{e_{1},e_{2},e_{4} \}\)，显然\(X\)是\(C\)的粗糙集，因为\(X\)不能被\(X_{1},X_{2},X_{3}\)中的任何一个或者若干个组合构成。

先看上近似。
在\(U/C=\{X_{1},X_{2},X_{3} \}\)中，

\[\{e_{3},e_{6} \} \bigcap X =\emptyset \quad \implies \quad X_{1} \bigcap X = \emptyset \]

\[\{e_{2},e_{5} \} \bigcap X =\{e_{2} \} \quad \implies \quad X_{2} \bigcap X = \{e_{2}\} \]

\[\{e_{1},e_{4} \} \bigcap X =\{e_{1},e_{4}\} \quad \implies \quad X_{3} \bigcap X = \{e_{1},e_{4} \} \]

此时，称\(\{e_{2},e_{5} \}\)和\(\{e_{1},e_{4} \}\)为\(X\)关于\(C\)的上近似。

再看下近似。
在\(U/C=\{X_{1},X_{2},X_{3} \}\)中，

\[\{e_{3},e_{6} \}\not\subseteq X \quad \implies \quad X_{1} \not\subseteq X \]

\[\{e_{2},e_{5} \}\not\subseteq X \quad \implies \quad X_{2} \not\subseteq X \]

而

\[\{e_{1},e_{4} \} \subseteq X \quad \implies \quad X_{3} \subseteq X \]

此时，称\(\{e_{1},e_{4} \}\)为\(X\)关于\(C\)的下近似。

给出上下近似的定义：

在一个决策信息系统中\(S=(U,A=C\bigcup D,V,f)\)中，\(R\)是一个等价关系，\(\forall X \subseteq U\)，\(X\)关于\(R\)的上近似和下近似的定义分别如下：

\[\overline{R}X=\bigcup \{x \in U \mid [x]_{R} \subseteq X\} \]

\[\underline{R}X=\bigcup \{x \in U \mid [x]_{R} \bigcap X \neq \emptyset \} \]

\([x]_{B}=\{y \mid (x,y) \in R_{B}\}\)表示是由等价关系\(R_{B}\)形成的等价类。

关于上近似和下近似的一些解释。

• 上近似则是将那些包含\(X\)的知识库中的集合求并得到的(包含\(X\)的最小可定义集)
• 下近似是在那些所有的包含于\(X\)的知识库中的集合中求并得到的(包含在\(X\)内的最大可定义集）

或者说

• 上近似是根据现有知识\(R\)，判断\(U\)中一定属于和可能属于\(X\)的对象所组成的集合。
• 根据现有知识\(R\)，判断\(U\)中所有肯定属于\(X\)的对象所组成的集合，即式中，表示等价关系\(R\)下包含关系\(x\)的等价类。

## 正域，负域与边界域 ###### 紧接着上下近似的概念，正域，负域与边界域的定义如下： 论域$U$被$X$的上下近似集划分为正域$POS_{R}(X)$，负域$NEG_{R}(X)$以及边界域$BND_{R}(X)$三个互不相交的区域。 正域： $$ POS_{R}(X)=\underline{R}X $$

负域：

\[NEG_{R}(X)=U-\overline{R}X \]

边界域：

\[BND_{R}(X)=\overline{R}X-\underline{R}X \]

可以发现：

\[POS_{R}(X) \bigcup NEG_{R}(X) \bigcup BND_{R}(X) =U \]

我们还是以上面体温属性\(C\)为例。
\(X\)关于\(C\)的上近似为\(\{e_{2},e_{5} \}\)，\(\{e_{1},e_{4} \}\)，下近似为\(\{e_{1},e_{4} \}\)，所以
论域\(U\)被\(X\)的上下近似集划分为正域为：

\[POS_{C}(X)=\underline{R}X=\{e_{1},e_{4}\} \]

负域为：

\[NEG_{R}(X)=U-\overline{R}X =\{e_{3},e_{6} \} \]

边界域：

\[BND_{R}(X)=\overline{R}X-\underline{R}X=\{e_{2},e_{5} \} \]

用一张图来表示这个过程：

图中蓝色曲线为上近似。

实例

下表是一个决策信息系统。

\(U\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(e\)	\(f\)	\(d\)
1	0	1	1	1	0	1
2	1	1	0	1	0	1
3	1	0	0	0	1	0
4	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	1	0
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	1	0	1
9	1	0	0	1	0	0
其中论域\(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}\)，条件属性集\(C=\{a,b,c,f,e \}\)，决策属性集 \(D=\{d\}\)。

从上表中有：\(U=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9} \}\)，\(C=\{a,b,c,f,e \}\)，\(D=\{d\}\)。
每个属性的值域都为\(\{0,1\}\)。

\[U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\}\}=\{U_{1},U_{2},U_{3},U_{4},U_{5} \} \]

注意，\(C\)是条件属性，未包括决策属性\(d\)。

假设：\(X=\{1,2,3,6,7 \}\)。
则：
上近似：

\[\overline{R}X=U_{1} \bigcup U_{2} \bigcup U_{3} \bigcup U_{4} =\{1,2,4,3,5,6,7 \} \]

下近似：

\[\underline{R}X=\{1,6,7 \} \]

正域为：

\[POS_{C}(X)=\underline{R}X=\{1,6,7 \} \]

负域为：

\[NEG_{C}(X)=U-\overline{R}X =\{8,9 \} \]

边界域：

\[BND_{C}(X)=\overline{R}X-\underline{R}X=\{2,4,3,5 \} \]

本文内容暂告一段落，之后将继续更新。

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本文参考了：

• 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.
• 苗夺谦，李国道《粗糙集理论，算法和应用》.
• 张文修《基于粗糙集的不确定决策》.