bzoj1041: [HAOI2008]圆上的整点(数学)

原题链接

题目描述:求一个给定的圆(x^2+y^2=n^2),在圆周上有多少个点的坐标是整数。

输入格式:只有一个正整数n,n<=2e9

输出格式:整点个数

输入样例:
4

输出样例:
4

解析:推到一半就不会了,果然我还是太菜~
   题目要求 \(x^2 + y^2 = n^2\)
   那么 \(n^2 - x^2 = y^2\)
   \((n + x)(n - x)=y^2\)
   设d = gcd(n + x, n - x)
   那么 n + x = \(d \times v\), n - x = \(d \times u\)\(u < v\),gcd(u, v) == 1
   因为两数相乘是个完全平方,所以u和v都是完全平方
   设 u = \(a^2\) , v = \(b^2\)\(a < b\),gcd(a, b) == 1
   所以 n + x = \(d \times b^2\),n - x = \(d \times a^2\)
   两式相加,n = \(d \times (a^2+b^2)\div2\)
   \(2 \times n = d \times (a^2 + b^2)\)
   所以可以枚举 2n 的每个因数,再枚举a,最后判断b是否合法即可
   注意要判断gcd(a, b) = 1,并且a < b
   这样就算出了第一象限的答案,最后将答案乘4即可

代码如下:

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 5;
int ve[maxn], tot;
ll n, ans;

int gcd(int x, int y) {
	if (!y) return x; else return gcd(y, x % y);
}

int main() {
	scanf("%lld", &n); n <<= 1;
	  for (int i = 1; i <= sqrt(n); ++ i) { //找出所有的因数 
	  	if (n % i == 0) {
	  		int a = n / i, b = i;
	  		if (a != b) ve[++ tot] = a, ve[++ tot] = b;
	  		  else ve[++ tot] = a;
		  }
	  }
	  for (int i = 1; i <= tot; ++ i) {
	  	ll tmp = n / ve[i];
	  	  for (int j = 1; j <= sqrt(tmp); ++ j) {
	  	  	  ll a = j, b = sqrt(tmp - a * a);
	  	  	  if (a > b) break; //a不能大于b 
	  	  	  if ((gcd(a, b) == 1) && (b * b == tmp - a * a)) ans ++; //合法就统计答案 
			}
	  }
	printf("%lld", ans << 2); //最后将答案乘4 
	return 0;
} 
posted @ 2018-12-05 18:37  Gax_c  阅读(59)  评论(0编辑  收藏