[算法模版]同余最短路

[算法模版]同余最短路

算法描述

当我们解决形如\(\sum_{i=1}^n a_ix_i=k\)的时候，我们可以使用同余最短路来解决。

我们选择一个最小的\(a_i\)作为base，然后把其他的\(a\)表示成\(base*p+left\)的形式。

我们定义\(f[i]\)代表凑出\(\bmod base\)余\(i\)的数最小需要多少个\(base\)。

而一个数\(p\)能被凑出当且仅当\(f[p\bmod base]\leq \frac {p}{base}\)

for(int i=0;i<base;i++){
    add(i,(i+a1)%base,a1);//从i
    add(i,(i+a2)%base,a2);
}

一些疑问

f[i]不会炸ll吗？

我们把\(\mod base\)的剩余系考虑成一个环，那么\(f[i]\)代表在换上转几次圈才能走到\(i\)这个点。每次走的步数可以在序列\(a\)中任意选择一个。

我们会发现，要让所有\(f[i]\)最小，那我们每次走都应该是从一个走过的点走到一个没有走到过的点。如果走了一段时间，发现不管从环上哪个点走，走多少步，都无法到达一个没到达过的点。这种情况下，没到达过的点就永远不能到达了。

所以走的次数的上界就是最大的\(a\)。

因为如果把最大的\(a\)取为\(base\)(虽然这样复杂度不是最优的，但是我们可以这样来计算上界)。那么每走一圈都最少会新到达一个点。所以要取遍剩余系就最多需要走\(a_{max}\)次。

为什么要选最小的\(a\)作为模数？

显然，这样可以保证点数最小（剩余系最小）。