CF1215E Marbles
CF1215E Marbles
思路
一道比较有意思的状压dp。
首先有一个结论,把一个序列通过交换相邻元素排序,那么交换次数的最小值就是逆序对个数。
证明:从小到大依次把元素换到最前面,那么每次交换都会使逆序对个数-1。逆序对为0则为有序。
考虑引入一个\(a_{c_i}\)代表\(c_i\)这种颜色在序列中的排名。
考虑按照\(a_i\)大小依次考虑每个\(c\)。dp数组中存储了以及被用过的\(c\)。而\(dp[3]=d[(101)_2]\)代表\(c=3\space or\space c=1\)的放在序列前两个位置,最少需要交换多少次。
对于\(dp[i]\),我们枚举从哪个状态加入一种\(c\)转移过来,令来源状态为\(j\),加入的颜色为\(k\)。\(i\)在\(j\)的基础上多了一个1。那么显然\(dp[i]=min(dp[j]+\sum_{v\in j}w[k][v])\)。其中\(w[k][v]\)就是原序列中\(k,v\)形成的逆序对个数(令\(a_k>a_v\))。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
const int maxn=4e5+100;
using namespace std;
int n,a[maxn],cnt[22];
ll w[22][22],dp[1<<21],sum;
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin>>n;int set=1<<21, mx = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i], mx = max(mx, a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++){
cnt[a[i]]++;
for(int j=0;j<=20;j++){
if(j==a[i])continue;
w[j][a[i]]+=cnt[j];
}
}
set = 1 << (mx + 1);
for(int i=1;i<set;i++){
dp[i]=1e18;
for(int j=0;j<=mx;j++){
if((1<<j)&i){
int tmp=i^(1<<j);
sum=0;
for(int k=0;k<=mx;k++){
if(((1<<k)&tmp)){
sum+=w[j][k];
if (dp[tmp] + sum >= dp[i]) break;
}
}
dp[i]=min(dp[i],dp[tmp]+sum);
}
}
}
cout<<dp[set-1];
return 0;
}