算法刷题 Day 42 | ● 01背包问题，你该了解这些！ ● 01背包问题，你该了解这些！ 滚动数组 ● 416. 分割等和子集

正式开始背包问题，背包问题还是挺难的，虽然大家可能看了很多背包问题模板代码，感觉挺简单，但基本理解的都不够深入。

如果是直接从来没听过背包问题，可以先看文字讲解慢慢了解 这是干什么的。

如果做过背包类问题，可以先看视频，很多内容，是自己平时没有考虑到位的。

背包问题，力扣上没有原题，大家先了解理论，今天就安排一道具体题目。

详细布置

01背包问题 二维

https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1cg411g7Y6

01背包问题 一维

https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-2.html

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1BU4y177kY

416.分割等和子集

本题是 01背包的应用类题目

https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1rt4y1N7jE

Tips：

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。

套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。

有录友可能想，那还有装不满的时候？

拿输入数组 [1, 5, 11, 5]，举例， dp[7] 只能等于 6，因为 只能放进 1 和 5。

而dp[6] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp[6] == 6，说明背包装满了。

2. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3. dp数组如何初始化

在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，

从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

我的题解：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i< nums.size(); i++){
            sum += nums[i];
        }
        if(sum%2!=0){
            return false;
        }
        sum /= 2;

        // 使其价值和重量相等，然后看重量为总和一半的背包价值是否和重量一样即可

        vector<int> dp(sum+1,0);
        
        for(int i = 0; i<nums.size();i++){
            for(int j=sum; j>=nums[i]; j--){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
            }
        }

        if(dp[sum] == sum){
            return true;
        }
        else{
            return false;
        }

    }
};