算法刷题 Day 38 | 动态规划理论基础 ● 509. 斐波那契数 ● 70. 爬楼梯 ● 746. 使用最小花费爬楼梯

理论基础

无论大家之前对动态规划学到什么程度，一定要先看 我讲的 动态规划理论基础。

如果没做过动态规划的题目，看我讲的理论基础，会有感觉 是不是简单题想复杂了？

其实并没有，我讲的理论基础内容，在动规章节所有题目都有运用，所以很重要！

如果做过动态规划题目的录友，看我的理论基础 就会感同身受了。

https://programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html

视频：https://www.bilibili.com/video/BV13Q4y197Wg

509.斐波那契数

很简单的动规入门题，但简单题使用来掌握方法论的，还是要有动规五部曲来分析。

https://programmercarl.com/0509.%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0.html

视频：https://www.bilibili.com/video/BV1f5411K7mo

Tips：题目很简单，目的是熟悉dp的解题思路。

我的题解：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n <= 1 ){
            return n;
        }
        vector<int> dp(n+1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i<=n;i++){
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

70.爬楼梯

本题大家先自己想一想， 之后会发现，和 斐波那契数 有点关系。

https://programmercarl.com/0070.%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF.html

视频：https://www.bilibili.com/video/BV17h411h7UH

Tips：

我们来分析一下，动规五部曲：

定义一个一维数组来记录不同楼层的状态

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2.确定递推公式

如何可以推出dp[i]呢？

从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。

首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！

所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。

这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！

3.dp数组如何初始化

在回顾一下dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]中方法。

我相信dp[1] = 1，dp[2] = 2，这个初始化大家应该都没有争议的。

所以我的原则是：不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。

4.确定遍历顺序

从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

5.举例推导dp数组

举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的

如果代码出问题了，就把dp table 打印出来，看看究竟是不是和自己推导的一样。

此时大家应该发现了，这不就是斐波那契数列么！

我的题解：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n<=2){
            return n;
        }
        vector<int> dp(n+1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3; i<=n ; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; //通过前一个阶梯+1,和前两个阶梯+2得到
        }
        return dp[n];
    }
};

746.使用最小花费爬楼梯

这道题目力扣改了题目描述了，现在的题目描述清晰很多，相当于明确说 第一步是不用花费的。

更改题目描述之后，相当于是 文章中 「拓展」的解法

https://programmercarl.com/0746.%E4%BD%BF%E7%94%A8%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%8A%B1%E8%B4%B9%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF.html

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV16G411c7yZ

Tips：这道题就要在之前的dp状态中进行选择了，选择一个总花费更小的进行记录，同时要注意楼梯顶是size(), 不是size() - 1。

我的题解：

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp(cost.size()+1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for(int i = 2; i<= cost.size(); i++){
            dp[i] = min(dp[i-2] + cost[i-2], dp[i-1] + cost[i-1]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};