2026.2.25

退役三月，脑子已经退化，看着身边的人一个个退竞，我也不远了。

A

\(n\le 100, q\le 10^5, b\le 5\times 10^4\)。

• 注意不到 \(f_i=f_i\vee f_{i-k}\)（\(i\in[k,n]\)，\(k\) 是常量）的 \(0/1\) 背包转移方程式可以使用 Bitset 进行 \(O(\frac{n}{\omega})\) 时间的转移。

• 注意不到完全背包是一种特殊的多重背包，多重背包是一种特殊的 \(0/1\) 背包。

• 注意不到如果插入一个小的数，那这个集合几乎马上每个数都能被表示出来，后面的更新可以跳过很多；如果插入一个大的数，那么完全达不到更新 \(\log b\) 次，由于 \(n\) 很小，复杂度比较玄学。

时间复杂度 \(O(q\log b\times b\div \omega)\)，空间复杂度 \(O(nb)\)。

B

\(N,Q\le 2\times 10^5\)。

https://www.luogu.com.cn/problem/P3295，同类题目。

不同之处在于在线和离线，注意到在线每次都要下传一堆标记。

• 注意不到每一层只会被并查集合并 \(O(N)\) 次，如果下传到已经合并了的地方直接退出，那么总体下传标记的复杂度就是 \(O(N\log N\alpha(N))\) 而不是 \(O(QN\alpha(N))\)。

时间复杂度 \(O(N\log N\alpha(N)+Q)\)，空间复杂度 \(O(N\log N)\)。