第二类斯特林数·行 笔记

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理论知识

定义 \(S(n,m)\) 表示将 \(n\) 个有标号物品放进 \(m\) 个无标号盒子里的方案数，每个盒子至少有一个。

即：当 \(n=3,m=2\) 时，\(\{\{1,3\},\{2\}\}\) 与 \(\{\{2\},\{1,3\}\}\) 相同，但与 \(\{\{1,2\},\{3\}\}\) 不同。

定理 1

\[S(n,m)=S(n-1,m-1)+m\times S(n-1,m) \]

即要么第 \(n\) 个数自己开个盒子，要么放到之前一个有数的盒子。

定理 2

\[m^n=\sum_{i=0}^m S(n,i)\times i!\times \binom n i \]

左边是将 \(n\) 个有标号物品放进 \(m\) 个有标号盒子里的方案数，可以有空盒子。右边是选择 \(i\) 个盒子不空，放进有标号盒子的方案数（因为 \(\times i!\)），两者等价。

实现

观察到定理 2 右边是个类似二项式反演的形式。

设 \(f(i)=i^n\)，\(g(i)=S(n,i)\times i!\)。

\[f(m)=\sum_{x=0}^m g(x)\times \binom m x\Rightarrow g(m)=\sum_{x=0}^m(-1)^{m-x}\times \binom m x\times f(x) \]

\[g(m)=\sum_{x=0}^m \frac{(-1)^{m-x}\times m!}{(m-x)!}\times\frac{x^n}{x!} \]

\[S(n,m)=\sum_{x=0}^m \frac{(-1)^{m-x}}{(m-x)!}\times\frac{x^n}{x!} \]

令 \(A(x)=\sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!}\times x^i\)，\(B(x)=\sum_{i=0}^n \frac{i^n}{i!}\times x^i\)，\(C(x)=A(x)\times B(x)\)，\(C(m)\) 的系数即为 \(S(n,m)\)，使用 NTT 即可。