鲜花：钦定与至少

以 CSP T4 为契机，昨晚和小玉米夜♂聊，终于解清了这个产生了很久的困惑。

简单来说，至少会算多，不会算重，如一个三位二进制，至少两位是 \(1\)，那么就是四种可能：\(011,101,110,111\)。那么至少两位减去至少三位就是恰好两位的方案，所以是容斥。

而钦定会算重，如一个三位二进制，钦定两位是 \(1\)：

• 钦定第一、二位：\({\color{Red}11}0,{\color{Red}11}1\)。
• 钦定第一、三位：\({\color{Red}1}0{\color{Red}1},{\color{Red}1}1{\color{Red}1}\)。
• 钦定第二、三位：\(0{\color{Red}11},1{\color{Red}11}\)。

实际算一下，设 \(f_i\) 表示恰好 \(i\) 位是 \(1\)，\(g_i\) 表示钦定 \(i\) 位是 \(1\)。

\(g_2=\binom 3 2\times 2=6\)，与前面的枚举成立。

\(g_3=\binom 3 3=1\)。

\(f_2=(-1)^{2-2}\times \binom 2 2\times g_2+(-1)^{3-2}\times\binom 3 2\times g_3=3\)，二项式反演成立。