高维前缀和 笔记

你知道学完一个东西不写笔记会有什么后果吗？——直接失忆。

一、高维前缀和

考虑求二维前缀和，除了传统的容斥方法，还可以这样：

// 考虑第一维
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++) // 每个点加上这一维上个点的和
        a[i][j] += a[i - 1][j];
// 考虑第二维
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++) // 每个点加上这一维上个点的和
        a[i][j] += a[i][j - 1];

考虑这份代码是在干什么（如注释所示）。

因此，求高维前缀和可以：

• 考虑每一个维度。
• 所有点加上这个维度上个点的信息。

二、SOS DP

1. 子集

对于每一个状态 \(s\in[0,2^n)\)，我都希望求出他的所有子集的相关信息。事实上可以把 \(s\) 看成一个 \(n\) 维前缀和，每一维的边长只有 \(2\)，那么他的所有子集，就是相当于求他的前缀和。时间复杂度 \(O(n\times 2^n)\)。

2. 超集

从前缀和变成了后缀和。

三、刷题总结

这个东西还是要看题目才能理解。

1. AT_arc100_c [ARC100E] Or Plus Max

显然可以将 \(i\operatorname{|} j\le K\) 转换为 \(i\operatorname{|} j=K\)，再对答案求前缀和。\(i\operatorname{|} j=K \Rightarrow i\subset K,j\subset K\)。要 \(A_i+A_j\) 最大，就是要下标是 \(K\) 的子集的数中，找到最大的两个数。设 \(f_K\) 表示这个东西，高维前缀和即可。

2. CF165E Compatible Numbers

\(x\operatorname{\&}y=0\Rightarrow x\subset \overline y\)，设 \(f_x\) 表示数 \(x\) 的子集中一个存在的数，高维前缀和即可。查询 \(x\) 就查询 \(f_{\overline x}\)。

3. CF449D Jzzhu and Numbers

\(a_{i_1} \operatorname{\&} a_{i_2} \operatorname{\&} \dots \operatorname{\&} a_{i_k}=x\Rightarrow \forall p,x\subset a_{i_p}\)。设 \(f_x\) 表示选择若干个数按位与得到 \(x\) 的方案数。看似只要求 \(x\) 的高维后缀和就好了，但实际上可能选出来的数按位与之后还是 \(x\) 的超集，所以 \(f_x\) 实际是选择若干个数按位与至少是 \(x\)，那么容斥一下就好了。由于最后只要求 \(f_0\)，对 \(x\) 中 \(1\) 的个数进行容斥即可。即设 \(g_i\) 表示按位与出来至少有 \(i\) 个 \(1\) 的方案数。

4. P6442 [COCI 2011/2012 #6] KOŠARE

看数据范围，玩具种类很小，直接对每个箱子有的玩具状压，选出来之后要包含所有的玩具，那么就是选择的箱子按位或后全部是 \(1\)。设 \(f_x\) 表示选择若干个数按位或得到 \(x\) 的方案数，高维前缀和，和上一题同理容斥。

5. CF1208F Bits And Pieces

考虑从高到低贪心确定答案每一位能否为 \(1\)，假设当前可能的答案是 \(x\)，那么由于是或，可以让 \(a_i\) 贡献其中的 \(y\subset x\)，让 \(a_j\operatorname{\&} a_k\) 贡献其中的 \(z\subset x\)（\(y\operatorname{|}z=x\)）。设 \(f_x\) 表示只选择一个数 \(a_i\) 满足 \(x\subset a_i\)，最小的下标 \(i\)。设 \(g_x\) 表示选择两个数 \(a_j,a_k\) 满足 \(x\subset a_j\operatorname{\&}a_k\Rightarrow x\subset a_j\wedge x\subset a_k\)，下标 \(j,k\) 的最大值。做一次高维后缀和。\(O(\log V)\) 枚举每一位，\(O(2^{\log V}=V)\) 分配 \(y,z\)。总时间复杂度 \(O(n+V\log V)\)。