202508 组合计数专题 笔记

总结：放宽限制到好算的地步，再容斥等减去不符合题意的情况。

1. P3862 数圈

题目描述的 \(n\) 个点的图，由 \(n-1\) 个点的完全图，和一个特殊点组成——这个特殊点只向完全图中连了 \(n-2\) 条边。

组成答案的圈有两部分，一部分是完全图中的圈，另一部分是经过特殊点的。

经过特殊点的这一部分，相当于在完全图中选两个点，特殊点再连上这两个点。此时就是要计算这两个点间的路径方案数。

根据完全图的性质，选择哪两个点对路径的方案数没有影响，所以设 \(g_i\) 表示在 \(i\) 个点的完全图中，\(1\) 号点和 \(i\) 号点间路径的方案数。

每当添加一个点（\(g_{i-1}\to g_i\)），可以一步 \(1\to i\)，也可以 \(1\to j\to i\)，而 \(1\to j\) 的方案数就是 \(g_{i-1}\)，\(j\) 有 \(i-2\) 种选择，故

\[g_{i}=g_{i-1}(i-2)+1 \]

完全图中的可以设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点的完全图中，圈的方案数。

每当添加一个点（\(f_{i-1}\to f_i\)），相当于 \([1,i-1]\) 点中任选两个组成一条路径，并连上 \(i\) 号点，则有转移

\[f_{i}=f_{i-1}+g_{i-1}\times \binom {i-1} 2 \]

最后的答案就是 \(f_{n-1}+g_{n-1}\times \binom {n-2} 2\)。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度可做到 \(O(1)\)。

注意到一组数据中 \(\Delta n\) 不超过 \(10^6\)，花费 \(10\operatorname{s}\) 打表出 \(n=999,000,000\) 的 \(f,g\)。

时间复杂度 \(O(\Delta n)\)。

2. P3214 [HNOI2011] 卡农

题目要求对同种音乐去重，这相当于多了一个限制，考虑去掉这个限制，最后答案除以 \(m!\) 即可。

考虑 DP，设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个片段音乐均合法的方案数，其中的合法有如下几种限制。

1. 出现的音阶次数都是偶数次。

2. 每个片段都不为空。

3. 没有两个相同的片段。

考虑抛弃后两种限制，用第一种限制进行计数，那只需要任意构造出 \([1,i-1]\) 的片段，让第 \(i\) 个片段给他补到对应的偶数次即可。方案数就是构造 \([1,i-1]\) 片段的方案 \(A_{2^{n}-1}^{i-1}\)。

接下来考虑去除不符合第二种限制的情况，这说明 \([1,i-1]\) 已经每个音阶都出现偶数次，不需要片段 \(i\) 给他补，那就是 \(f_{i-1}\) 种方案。

最后考虑限制三，出现相同的片段。观察前面的构造，只有可能是当前的第 \(i\) 个片段和前面的某个片段相同。

由于片段相同，同时去掉这两个片段不影响限制一，也就是说剩下的 \(i-2\) 个片段合法，即 \(f_{i-2}\) 种可能。然后从 \([1,i-1]\) 中任选一个片段出来不合法，\((i-1)\) 种可能，接着从剩下可选的片段集合中选一个出来作为不合法的片段，\(2^n-1-(i-2)\) 种可能。

故转移方程

\[f_i=A_{2^{n}-1}^{i-1}-f_{i-1}-f_{i-2}(i-1)(2^n-1-(i-2)) \]

答案为 \(f_m\)。

时间复杂度 \(O(m)\)，空间复杂度 \(O(m)\)。

3. P5376 [THUPC 2019] 过河卒二

先考虑去掉障碍的限制。

考虑传统过河卒：只能向右或向上，从 \((0,0)\to (n,m)\)，那就是移动 \(n+m\) 步，从中选择 \(n\) 步向右，即 \(\binom {n+m} n\)。

现在加入了斜着走，因为斜着走移动的步数和向右 / 向上不同，不能简单地组合数计算，需要枚举斜着走的步数，假设斜着走 \(i\) 步，那么向右 / 向上就变成了 \((0,0)\to (n-i,m-i)\)，而斜着走可以在 \(n+m-i\) 个位置中任意选 \(i\) 个插入。

\[\sum_{i=0}^{\min(n,m)}(\binom{n+m-2i}{n-i}\binom{n+m-i}{i}) \]

对于本题走到任意界外点都算结束，有经典套路将终点向右上方移一格，因为走到新边界后只有一种方案：不断向右或不断向上，不影响答案。

接着考虑加入回障碍的限制，由于障碍数量少，直接二进制枚举进行容斥，对于当前选出来的点的集合，从左往右从上往下排序，计算出相邻两个点间行走的方案数（和上面其实同理），然后相乘即可得出至少经过这些点的方案数。

还需要计算起点到集合中第一个点，和最后一个点到终点的方案。奇负偶正容斥即可。

对于障碍的计算，可以预处理出两两间的方案。

对于这种 \(n,m\) 大，模数 \(p\) 小的组合数计算，常用 Lucas 定理。

时间复杂度 \(O(k^2\times m\times \log_{59393}(n)+2^k\times k)\)，空间复杂度 \(O(59393+k^2)\)。