ARC204A - Use Udon Coupon 笔记

膜拜 larsr。

先差分，设 \(f(x)\) 表示 \(C\in[0,x]\) 的方案数，原问题等价于 \(f(R)-f(L-1)\)。

有个 trick，假设确定了操作序列，那么假如 \(C'\) 没有 \(\max(0,C)\) 的限制，求 \(C=x\) 的方案数，就相当于求 \(C=C'_{最终}-\min_{操作中的任意时刻}C'\)（注意 \(\min\) 出来是负数），因为就相当于在 \(\min C'\) 那里 \(C\) 变成了 \(0\)，那一部分的负数不应该进入 \(C\)，而 \(C'_{最终}\) 实则是 \((\sum B)-(\sum A)\)，记作 \(S\)。

现在要求 \(C\le x\)，就相当于求 \(-\min C'\le x-S\)，即 \(\max-C'\le x-S\)，然后 \(\max -C'=\max_{i,j}((\sum_{[1,i]} A)-(\sum_{[1,j]}B))\)，那么只需要保证转移中的每一对 \(\{i,j\}\) 都满足条件即可。

前缀和处理一下 \(A,B\)，设 \(f_{i,j}\) 表示 \(A,B\) 取到 \(\{i,j\}\) 且合法的方案数，其中 \(f_{0,0}=1\)，答案为 \(f_{n,n}\)，显然若 \(\{i-1,j\}\) 对 \(\{i,j\}\) 合法则 \(\{i-1,[1,j]\}\) 合法，所以让 \(f_{i,j}\) 从 \(f_{i-1,j}\) 转移过来，最后对 \(f_i\) 做个前缀和即可。

时空复杂度 \(O(n^2)\)。