P11325 【MX-S7-T3】「SMOI-R2」Monotonic Queue 笔记

SM 的大神都太强了。

首先，区间肯定相交，因为答案只和队尾弹出有关，并且先动队尾再动队头，所以如果区间不交，把后面的区间的 \(l\) 前移，答案一定不劣。

一个 \(c_i\) 能够被算进答案，当且仅当存在 \([l_j,r_j]\) 满足 \(l_j\le i\wedge nxt_i\le r_i\)，其中 \(nxt_i\) 是后面第一个 \(>a_i\) 的数。

若 \(l_i=l_{i+1}\)，则 \([l_{i+1},r_{i+1}]\) 完全可被 \([l_i,r_{i+1}]\) 代替。

结合上面三点，考虑在每个 \(l_i=i\) 计算 \(c_i\) 会被算进答案的可能。

设 \(f_{i,j}\) 表示考虑到前 \(i\) 个数，并且 \(r_i=j\) 的方案数。

则有 \(f_{i,j}=\max_{k=i}^j f_{i-1,k}+c_i\times [j\ge nxt_i]\)。

考虑线段树优化，对 \(i\) 这维做扫描线，维护前缀 \(\max\)（显然 \(i\ge j\) 的状态是无效状态）。

每次即相当于对 \([nxt_i,n]\) 这一段加上 \(c_i\)。

如果 \(c_i\) 是负的话，可能会弄出一段不满足前缀 \(\max\) 的，找到线段树中开始下降前一个的数（注意不要找到无效状态），对这一段不满足前缀 \(\max\) 性质的直接覆盖。

我们可以在任意一个地方立正，此时你肯定不能把 \(j\) 伸到很远的地方，只能伸到 \(i+1\)。

所以答案是扫描线每一个时刻，对线段树的 \(i+1\) 取 \(\max\)。

还要对原地立正的答案（\(0\)）取 \(\max\)。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。