Hall 定理 笔记

邻域 \(N(S)\)：所有和 \(S\) 中的点有连边的点组成的集合。

Hall 定理：二分图一部中选出点集 \(S\)，\(S\) 中的每个点都能匹配，当且仅当 \(\forall T\subseteq S,|T|\le |N(T)|\)。

P3488 [POI 2009] LYZ-Ice Skates

可以建出二分图，让人连向所有他能穿的鞋子。

套用 Hall 定理，代表人的点集是 \(S\)，人能选到的鞋子的点集就是 \(|N(S)|\)。

进一步发现，连续的子区间更容易不合法，因为不合法的 \(T\)，选择的鞋子一定有重合的部分，如果没有重合的部分，这个不合法的 \(T\) 可以拆分成多个 \(T'\)。考虑 \(|T|=2\) 的情况，因为选择的鞋子已经重合，选择这中间的所有人都不会增加鞋子数 \(|N(T)|\)，而会增加 \(|T|\)。

因此问题转化成判断是否 \(\forall l,r\)，满足 \(\sum_{i=l}^r a_i\le k(r-l+1+d)\)，即 \(\sum_{i=l}^r (a_i-k)\le dk\)，使用线段树维护最大子段和判断是否合法即可。