题解：[AHOI2018初中组] 球球的排列

有一个结论，如果 \(a\times b\)，\(a\times c\) 都是完全平方数，那么 \(b\times c\) 也是完全平方数。从质因数的角度看是比较容易理解的（\(b\) 和 \(c\) 的质因子的指数对 \(2\) 同余）。

考虑容斥，用至少 \(0\) 对不合法的减去至少 \(1\) 对不合法的加上至少 \(2\) 对不合法的……。

然后把 \(n\) 个数按照是否形成完全平方数分成 \(m\) 类，第 \(i\) 类的 \(c_i\) 个数必然是被拆成若干段塞进了最终的序列里，加入被拆成了 \(i\) 段，那么显然就是产生了 \((m-i)\) 对不合法的数（注意是对数不是个数）。设 \(g_{i,j}\) 表示大小为 \(i\) 的块产生了 \(j\) 对不合法的数，即分成了 \((i-j)\) 段。那么选 \((i-j)\) 个数作为段头，剩下的随便放，则有

\[g_{i,j}=C_i^{i-j}A_i^j \]

然后设 \(f_{i,j}\) 表示安排了前 \(i\) 类数，产生了 \(j\) 对不合法的方案数，则直接 dp 转移即可。

\[f_{i,j}=\sum f_{i-1,j-k}\times g_{c_i,k} \]

\(f_{m,i}\) 则为一开始要求的 \(i\) 对不合法的，此时还没考虑块与块之间的重排，最后记得乘上 \((n-i)!\)。