舞蹈链（DLX） 笔记
一、精确覆盖问题 & 重复覆盖问题
以下部分例子来自 OI-Wiki。
形式化的语言：有若干个集合 \(S_{1\dots n}\)，给定一个集合 \(T\)，要求给出一种方案 \(p_{1\dots m}\)，满足：
- \(\bigcap_{i=1}^m S_{p_i}=\empty\)；
- \(\bigcup_{i=1}^n S_{p_i}=T\)
感性理解：选择若干个集合，使得选择的不同集合内没有相同的元素，且选择的集合的所有元素恰好就是给定集合 \(T\) 内的所有元素。
例如，若给出
则 \((S_1, S_4, S_5)\) 为一组合法解。
二、X 算法
将每个 \(S\) 是否存在某个元素表示为一个二进制数，一行一行表示出来：
问题转换为选择若干行，使得每一列恰好有一个 \(1\)。
X 算法的流程如下：先选择一行，通过标记这一行 \(1\) 所在的列，把和这一行有相同位置 \(1\) 的行全部删去，得到新的小矩阵后继续操作，如果最后删掉了一个全为 \(1\) 的行后矩阵变为空，则方案可行，否则回溯。
如上例：
- 选择第一行，删去红色的行（和第一行有相同的 \(1\) 位置）和蓝色的列（无需继续考虑）。
- 选择新矩阵第一行（即原矩阵第二行）。
- 此时发现第二步选择的行并非全为 \(1\)，说明存在列未被覆盖，回溯，选择第二行（即原矩阵第四行）。
- 此时删掉这剩下的一行（原矩阵第五行），矩阵全空且删除合法，故求出答案 \((S_1,S_4,S_5)\)。
三、双向十字链表
其实，可以理解为链式前向星 Pro Max。
双向十字链表有四个指针 \(U,D,L,R\)，分别指向四个方向，但其并不是按照行列编号顺序指向的，他是像链式前向星一样，head 指向最新的，最新的指向第二新的，……
此外，它的指针是循环的，也就是说如果向左跳，到了左边界，再往左跳他会跳回右边界，这使得双向十字链表实质上不需要 head，可以从任意位置开始遍历，遍历回自己后结束。
首先，假设需要一个大小为 \(r\times c\) 的双向十字链表，\(0\) 号点用来判断矩阵是否全空，创建一条链 \(1\to c\) 的链，相当于向下方向的 head，而行方向就单独开一个 head 数组即可。
若 \((1,2)\) 加入一个点，标号为 \(5\)，就把 \(D_2\) 指向这个点。
若 \((3,2)\) 加入一个点，标号为 \(5\)，就把 \(D_2\) 指向这个点，\(D_6\) 指向 \(5\)，因为 \(D\) 实质上起的是链式前向星的功能而不是按行号向下指的功能。
若 \((3,4)\) 加入一个点，在行方向和加入 \((3,2)\) 时进行类似的操作即可。
至于 \(U\) 和 \(L\)，由于和 \(D,R\) 分别互逆，按图理解即可，不再赘述。
int r, c, head[N], sz[N], idx;
int X[N], Y[N], L[N], R[N], U[N], D[N];
void build(int n, int m) {
r = n, c = m;
for (int i = 0; i <= c; i++) {
L[i] = i - 1, R[i] = i + 1;
U[i] = D[i] = i;
}
idx = c;
L[0] = c, R[c] = 0;
memset(head, 0, sizeof head);
memset(sz, 0, sizeof sz);
}
void insert(int x, int y) {
X[++idx] = x, Y[idx] = y, sz[y]++;
U[idx] = y, D[idx] = D[y];
U[D[y]] = idx, D[y] = idx;
if (!head[x])
head[x] = L[idx] = R[idx] = idx;
else {
L[idx] = head[x], R[idx] = R[head[x]];
L[R[head[x]]] = idx, R[head[x]] = idx;
}
}
四、舞蹈链
对于 X 算法的矩阵，可以只对 \(1\) 建立一个双向十字链表。
1. 精确覆盖问题
写一个 remove 函数，表示删除某一列上有 \(1\) 位置的所有行。每次选择 \(1\) 最少的一列，枚举选择这一列的哪些行，选择之后再删除和这一行有冲突的不能被选的行。
为什么选择 \(1\) 最少的一列？因为有 \(1\) 的列上总有一行会成为正解，否则说明无法覆盖掉这一列，而选择 \(1\) 最少的一列显然可以加快速度。
删除完之后复原即可，如果最后删空了返回可行。
为什么删空了即可？按照代码，如果某一列出现了 \(1\)，那么它向下方向的 head 也会被删掉，如果每一列都出现过 \(1\) 了，那么链表显然是完全空的 head 都没了，所以不需要特殊判断最后删除的是否全为 \(1\)。
如果无法理解代码里的细节，记住双向十字链表是循环的，不会掉出界的，而 \(1\to c\) 的编号是分给了一些类似 head 的点的。
void remove(int y) {
L[R[y]] = L[y], R[L[y]] = R[y];
for (int i = D[y]; i != y; i = D[i])
for (int j = R[i]; j != i; j = R[j]) {
U[D[j]] = U[j],
D[U[j]] = D[j];
sz[Y[j]]--;
}
}
void recover(int y) {
for (int i = U[y]; i != y; i = U[i])
for (int j = L[i]; j != i; j = L[j]) {
U[D[j]] = D[U[j]] = j;
sz[Y[j]]++;
}
L[R[y]] = R[L[y]] = y;
}
bool dance(int step) {
if (!R[0]) {
cnt = step;
return true;
}
int y = R[0];
for (int i = R[0]; i; i = R[i])
if (sz[i] < sz[y])
y = i;
remove(y);
for (int i = D[y]; i != y; i = D[i]) {
ans[step + 1] = X[i];
for (int j = R[i]; j != i; j = R[j])
remove(Y[j]);
if (dance(step + 1))
return true;
for (int j = L[i]; j != i; j = L[j])
recover(Y[j]);
}
recover(y);
return false;
}
2. 重复覆盖问题
不能删除掉和某一行有冲突的行了，虽然还是可以删掉某一行所有的 \(1\) 出现的列，但是效率将大幅下降，故写一个估价函数，估价函数的内容是，我们假定覆盖某一列的所有行，他们覆盖的列都只需要一个集合就能覆盖完，这样子显然估出来的步数是小的，但这也说明了如果往小的估都不合法，那肯定不能合法。
重复覆盖问题通常询问最小覆盖集合数，套一个迭代加深即可。
void remove(int x) {
for (int i = D[x]; i != x; i = D[i])
L[R[i]] = L[i], R[L[i]] = R[i];
}
void recover(int x) {
for (int i = U[x]; i != x; i = U[i])
L[R[i]] = R[L[i]] = i;
}
int h() {
int ret = 0;
memset(vis, 0, sizeof vis);
for (int i = R[0]; i; i = R[i]) {
if (vis[i])
continue;
vis[i] = true;
ret++;
for (int j = D[i]; j != i; j = D[j])
for (int k = R[j]; k != j; k = R[k])
vis[Y[k]] = true;
}
return ret;
}
bool dance(int step) {
if (step + h() > mxd)
return false;
if (!R[0])
return true;
int y = R[0];
for (int i = R[0]; i; i = R[i])
if (sz[i] < sz[y])
y = i;
for (int i = D[y]; i != y; i = D[i]) {
ans[step + 1] = X[i];
remove(i);
for (int j = R[i]; j != i; j = R[j])
remove(j);
if (dance(step + 1))
return true;
for (int j = L[i]; j != i; j = L[j])
recover(j);
recover(i);
}
return false;
}
void solve() {
mxd = 0;
while (!dance(0))
mxd++;
cout << mxd << "\n";
}
五、刷题套路
这玩意最常用来解决数独类问题，理解了一个就可以理解全部了。
假设当前要解决九行九列数独问题，有行，列，宫的限制，把决策放到行，影响放到列。
如决策在数独第 \(x\) 行第 \(y\) 列放入 \(z\)，那么会影响到这个位置不能再放别的数，第 \(x\) 行不能再放 \(z\)，第 \(y\) 列不能再放 \(z\)，所在宫不能再放 \(z\)。
每一个格子是否放数；每一行，每一列，每一宫是否放 \(1\sim 9\)，共有 \(9\times 9\times 4\) 种情况，每一个格子放 \(1\sim 9\)，共有 \(9^3\) 种决策，故只需要一个 \(729\times 324\) 的双向十字链表做精确覆盖问题即可。
几道题：
浙公网安备 33010602011771号