初等数论（exgcd & 中国剩余定理 & 卢卡斯定理）

本文原在 2025-02-08 07:35 发布于本人洛谷博客。

〇、整除

定义 \(b\mid a\Leftrightarrow a\bmod b=0\)。

1. 求证：\(c\mid a\) 且 \(c\mid b \Rightarrow c\mid (a+b),c\mid ab\)。

证明：设 \(a=k_1c,b=k_2c,\therefore a+b=c(k_1+k_2),ab=c^2k_1k_2\)。

一、辗转相除法

1. 求证：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)。

证明：设 \(a\bmod b=c\)，即 \(a=kb+c\)。

\(\therefore c=a-kb\)。

设 \(d\mid a,d\mid b\)。

\(\therefore d\mid kb\)，\(\therefore d\mid c\)。

\(\therefore a,b\) 的公因数，均为 \(a\bmod b\) 的因数，即均为 \(b,a\bmod b\) 的公因数。

设 \(d'\mid b,d'\mid c\)。

\(\therefore d'\mid kb\)，\(\therefore d'\mid a\)。

\(\therefore b,a\bmod b\) 的公因数，均为 \(a\) 的因数，即均为 \(a,b\) 的公因数。

\(\therefore \gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)。

二、裴蜀定理

1. 求证：\(ax+by=\gcd(a,b)\) 有整数解。

证明：https://oi-wiki.org/math/number-theory/bezouts/。

三、exgcd

1. 求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组整数解。

解：设已知 \(bx'+(a\bmod b)y'=\gcd(b,a\bmod b)\) 的一组整数解 \(x',y'\)。

\(\because \gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)，

\(\therefore ax+by=bx'+(a\bmod b)\times y'\)。

\(\therefore ax+by=bx'+(a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times b)\times y'\)。

\(\therefore ax+by=ay'+b(x'-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times y')\)。

2. 若 \(a,b\) 互质，求 \(a\) 在模 \(b\) 意义下的逆元 \(x\)，即求 \(ax\equiv 1\pmod b\) 的一个解。

解：原方程等价于 \(ax+by=1\)，其中 \(y<0\)。

而 \(\gcd(a,b)=1\)，所以 exgcd 可求。

3. 求证：\(ax+by=c\) 有整数解 \(\Leftrightarrow \gcd(a,b) \mid c\)。

证明：

①充分性：设 \(d=\gcd(a,b)\)，则 \(a=k_1d,b=k_2d\)。

\(\therefore c=ax+by=d(k_1x+k_2y)\)。

\(\therefore d\mid c\)。

②必要性：\(\because\) 由裴蜀定理，\(ax+by=d\) 有整数解。

\(\therefore a\times \frac{cx}{d}+b\times \frac{cy}{d}=c\)。

\(\because d\mid c\)，\(\therefore \frac{cx}{d},\frac{cy}{d}\) 是整数。

4. 若 \(ax+by=c\) 有解：

（1）求其的一组特解 \(x',y'\)。

解：由 exgcd 易求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组解 \(x_0,y_0\)。

\(\because ax+by=c\) 有解，\(\therefore\gcd(a,b)\mid c\)。

\(\therefore a\times \frac{cx_0}{\gcd(a,b)}+b\times \frac{cy_0}{\gcd(a,b)}=c\)

\(\therefore\) 解得 \(\left\{\begin{matrix}x'= \frac{cx_0}{\gcd(a,b)}\\ y'=\frac{cy_0}{\gcd(a,b)}\end{matrix}\right.\)。

（2）求其的通解公式。

解：设 \(a(x+m)+b(y+n)=c\)，化简得 \(am+bn=0\)。

设 \(d=\gcd(a,b)\)。易得 \(\left\{\begin{matrix}m=k\times \frac{b}{d}\\n=-k\times \frac{a}{d} \end{matrix}\right.\)。

（3）找出解的个数，判断是否有解满足 \(x>0,y>0\)。

解：即 \(x'+m>0,y'+n>0\)。

化简得 \(\left\lceil\frac{-dx'+1}{b}\right\rceil\le k\le \left\lfloor\frac{dy'-1}{a}\right\rfloor\)

解的个数即为 \(k\) 的个数。

若 \(k\) 存在，则有解满足上述条件。

（4）分别给出 \(x\) 和 \(y\) 最小的正整数值。

解：由一次函数，\(x\) 随着 \(k\) 增大而增大，\(y\) 随着 \(k\) 增大而减小。

四、中国剩余定理

求解以下方程组：

\[x\equiv a_i\pmod{b_i} \]

有如下方法：

1. 令 \(mod=\prod b_i\)，令 \(m_i=mod\div b_i\)。

2. 求模 \(b_i\) 意义下的 \(m_i^{-1}\)，记作 \(m'_i\)。

3. 答案为 \((\sum a_im_im'_i)\bmod mod\)。

求证：以上方法的正确性。

证明：若 \(i\ne j\)，则由构造方式，有 \(b_i\mid m_j\)，即 \(m_j=0\pmod{b_i}\)。

\(\therefore a_jm_jm_j'=0\pmod{b_i}\)。

若 \(i=j\)，则 \(m_im_i^{-1}=1\pmod{b_i}\)。

综上，\(x\equiv \sum a_jm_jm'_j\equiv a_i+\sum_{i\ne j}a_jm_jm'_j\equiv a_i\pmod{b_i}\)。

五、卢卡斯定理

\[C_n^m\equiv C_{\left\lfloor n\div p\right\rfloor}^{\left\lfloor m\div p\right\rfloor}\times C_{n\bmod p}^{m\bmod p}\pmod p \]

适用于 \(n,m\) 较大，\(p\) 较小的情况。

注意预处理阶乘数组只能处理到 \(<p\) 的地方，不然将会导致答案全是 \(0\)。