动态 DP（DDP） 笔记

本文原在 2025-01-30 22:38 发布于本人洛谷博客，于 2025-5 重构。

\[\color{red}\text{WARNING：这玩意我不会讲，慎入！} \]

结合矩阵运算 / 重链剖分，解决一类待修改的树上 DP 问题。

一、前置知识

熟练掌握矩乘优化 DP，会树剖。

知道矩阵乘法没有交换律。

二、广义矩乘

普通的 \((+,\times)\) 矩乘：

\[C_{i,j}=\sum (A_{i,k}\times B_{k,j}) \]

常见的广义矩乘有 \((\min,+)\)，\((\max,+)\) 等，如：

\[C_{i,j}=\min (A_{i,k}+ B_{k,j}) \]

具有和矩乘一样的性质，证明见网络。

模板

P4719 【模板】动态 DP。

选若干个没有直接相连的点，使得选择的点权最大。

考虑没修改怎么做。

设 \(f_{u,0/1}\) 表示不选 / 选 \(u\) 号点，转移显然是 \(f_{u,0}=\sum \max(f_{v,0},f_{v,1}),f_{u,1}=(\sum f_{v,0})+a_u\)。

由于动态 DP 和树剖相关，考虑用树剖的思路改善转移方程。