树相关 笔记

本文原在 2025-01-19 17:31 发布于本人洛谷博客。

一、树的直径

就是树上最长的一条链。

法一：两次 dfs

先随便挑一个点，dfs 找到离这个点最远的点，再从找到的这个点出发 dfs，找到离这个点最远的点，这两点之间的路径就是直径。

法二：dp

随便挑一个点往下 dp，找到从每个点 \(u\) 出发往子树内走到叶子的最长链 \(d_{1,u}\) 和次长链 \(d_{2,u}\)，\(\max\{d_{1,u}+d_{2,u}\}\) 就是直径。

二、树的重心

就是找到一个点，使以他作为根时，最大的子树大小，比以任何其他点作为根时的最大子树大小都要小。

直接一次 dfs 就能找到。

三、Prüfer 序列

P6086 【模板】Prufer 序列。

1. 定义

用一个长度为 \((n - 2)\)，值域为 \([1,n]\) 的序列表示一棵树。

构建方法：每次找到编号最小的叶子节点 \(u\)，记他的父亲为 \(fa\)，将 \(fa\) 加入序列并删去 \(u\)。

2. 构造

显然可以 \(O(n)\) 构造，就直接从小到大遍历编号，这个编号是叶子节点就判断它父亲的编号是否比叶子节点还要小，是的话就接着删，否则继续遍历。

3. 性质

• 每个点在序列中出现的次数即为其度数减一。

因为每个点的所有 \(c\) 个儿子都会最终成为叶子结点，将这个点加入序列 \(c\) 次，而这个点的度数显然是 \(c+1\)（加上连向父亲的边）。

4. 重建树

由性质，可以从 Prüfer 序列知道每个点的度数，哪些是叶子节点。同样从小到大遍历编号，找到最小的叶子结点，将每个点父亲从前往后设为 Prüfer 序列的每个编号即可。

如果某个点被连接的次数等于他儿子的个数，那他也相当于一个“叶子结点”，往上连边。判断他的连接次数也是很好维护的。

5. 性质

• 一个有 \(n\) 个点的完全无向图有 \(n^{n-2}\) 个生成树。

一个树对应一种 Prüfer 序列的填法，Prüfer 序列 \((n-2)\) 个位置每个位置都有 \(n\) 种填法。

6. Caylay 公式

P2290 [HNOI2004] 树的计数。

相当于规定了每个点在 Prüfer 序列中出现的次数。

为方便表述，令 \(a_i\gets d_i-1\)（题目中的 \(d_i\)，原理即第 \(3\) 点提到的性质），令 \(m\gets n-2\)。

第一个点 \(m\) 个位置随便选 \(a_1\) 个组合地放，第二个点 \(m-a_1\) 个位置随便选 \(a_2\) 个组合地放，以此类推：

\[C_{m}^{a_1}C_{m-a_1}^{a_2}\dots C_{m-\sum_{i=1}^{m-1}a_i}^{a_m} \]

即

\[\frac{m!{\color{red}(m-a_1)!}\dots {\color{red}(m-\sum_{i=1}^{m-1}a_i)!}}{a_1!{\color{red}(m-a_1)!}a_2!{\color{red}(m-a_1-a_2)!}\dots a_m!{\color{blue}(m-\sum_{i=1}^ma_i)!}} \]

红色的全都消掉了，蓝色的因为 \((\sum_{i=1}^m a_i)=m\)，所以值等于 \(1\)。

那么就是

\[\frac{m!}{\prod_{i=1}^m a_i!} \]