线段树合并 笔记

本文原在 2024-12-16 18:15 发布于本人洛谷博客。

一、二叉树合并

给你两棵二叉树，每棵树的每个节点有点权，现在要合并成一棵二叉树，相同位置的点点权相加，如何操作？

由于这种问题一般有 \(10^5\) 级别棵树，而总点数很少，所以考虑用和主席树一样的动态开店策略，如下图所示，括号内的是点权，外的是编号。

此处应有图。

接着考虑从根节点开始暴力把 \((a)\) 合并到 \((b)\)。

• 从 \(1,7\) 开始递归，合并 \(1,7\) 的点权。

  • 递归左儿子 \(2,8\)，合并 \(2,8\) 的点权。

    • 递归左儿子 \(0,9\)，\(2\) 没有左儿子，取 \(9\)，返回。

    • 递归右儿子 \(0,0\)，均为空，返回。

  • 递归右儿子 \(3,10\)。

    • 递归左儿子 \(4,0\)，\(10\) 没有左儿子，合并后就有了，\(10\) 的左儿子指向 \(4\) 返回。

    • 递归右儿子 \(0,11\)，同 \(0,9\) 的情况，返回。

故新树如下所示。

此处应有图。

二、线段树合并

线段树本身也是二叉树，所以可以直接用二叉树合并的方法合并。

三、刷题记录

1. P4556 [Vani有约会] 雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

对 \(x\to y\) 路径上的 \(z\) 货物数量都加 \(1\)，可以差分为对 \(x\) 和 \(y\) 的 \(z\) 数量加 \(1\)，在 \(\operatorname{lca}(x,y)\) 的父亲处减 \(1\)，从下往上加即可得到每个节点的 \(z\) 数量，而 \(\operatorname{lca}(x,y)\) 会被左右两边均算而多算一次，因此这里也要减 \(1\)。区间问题即被转换为单点问题，于是考虑对每个结点维护一棵线段树，维护各种货物当前的差分信息，并找出其中的最大值，从下往上进行相加的线段树合并即可。

关于空间复杂度：一次操作会至多在 \(4\) 棵线段树上增加一条链，总的即为 \(O(4m\log v)\)，通常而言，开值域的 \(2^5\) 倍即可。

2. P3224 [HNOI2012] 永无乡

同样的，考虑对每个连通块维护一棵，即线段树下标表示岛屿的重要程度，值为是否存在 \((0/1)\)，并求和。然后就能找到重要程度第 \(k\) 小，合并连通块时结合并查集即可。

3. P3521 [POI2011] ROT-Tree Rotations

考虑对每个节点维护一棵权值线段树，同上。由于是先序遍历，故交换前后对回溯以后的答案不影响，只影响当前的 \(2\) 棵树内的答案，所以可以直接合并。

合并两棵树时，有逆序对全在左子树，全在右子树，跨越两棵子树的情况。处理第三种并递归左右即可，而第三种显然时 \((p\to \operatorname{ls}\to v)\times (q\to \operatorname{rs}\to v)\)（交换前），合并时用两个变量统计交换前后分别的逆序对数，取较小值加入答案即可。