拉格朗日插值法 笔记

本文原在 2024-10-12 16:23 发布于本人洛谷博客。

由于是为了补题才学这个，所以介绍的是最简单的拉格朗日插值法。

引入

一个 \(n\) 次多项式（其实也就是函数）\(f(x)\)，只要知道其中 \(n+1\) 个自变量和对应的因变量，就能解出这个多项式每一项的系数。比如解一次函数 / 二次函数，用待定系数法只需要分别知道两个点 / 三个点就能解二元 / 三元一次方程组解出来。

解线性方程组的方法有高斯消元，但其时间复杂度为 \(O(n^3)\)，而拉格朗日插值法面对这种问题只需要 \(O(n^2)\)。

公式

设要求的多项式是 \(f(x)\)，给出在其图像上 \(n\) 个的坐标 \((x_i,y_i)\)，需要求这个多项式自变量为 \(k\) 时的取值，则有：

\[f(k)=\sum_{i=1}^n y_i\prod_{i\ne j}\frac{k-x_j}{x_i-x_j} \]

假设这三个点的坐标是 \((1,4),(2,9),(3,16)\)，将式子展开：

\[f(k)=4\times \frac{(k-2)(k-3)}{(1-2)(1-3)}+9\times \frac{(k-1)(k-3)}{(2-1)(2-3)}+16\times \frac{(k-1)(k-2)}{(3-1)(3-2)} \]

将 \(x_1\) 代入，会发现除了和 \(y_1\) 相乘的那项以外，每一项都出现了一个 \((k-p)=0\)，所以那一项乘起来也是 \(0\)，而对于和 \(y_1\) 相乘那一项，乘上的东西变成 \(1\) 了，所以就是 \(y_1\)。

严格证明不会。

然后这个式子就可以 \(O(n^2)\) 暴力求。