P5823 【L&K R-03】课表的排列 题解

本文纯找规律,想要数学证明请勿进入

题目分析

首先题目重点是这句话:

如果课表上一共有 n 个科目,每个科目都有且仅有两节课,小 L 想知道是否存在一个课表,满足这 n 科的两节课间隔的课程数从小到大排序后是一个公差为 1 的等差数列。

换句话说,这句话意思是:

如果给你 2n 个数,分别是 1,1,2,2,…,…,n,n 。对于任意小于等于 n 的数字 k ,将其两次出现的位置记做 i 、j 。\(S_k\) \(=j-i+1\) 。要求找到一种排列 2n 个数的方法使得将\(S\)排序后是一个公差为 1 的等差数列。

解决题目

DFS

爆搜大家都会跟枚举全排列差不多,但是 n=100000x+1 这种数据爆搜是不行的,DFS期望得分 \(50-\) ,错了别怪我,我没交。

规律?

用DFS跑 \(n=3\) 之后输出所有结果,如果没错的话,应该有如下的两个可行解:

1 2 3 1 3 2
1 2 3 2 1 3

—— 有什么规律吗?
—— 都是以1 2 3开头。
—— 还有吗?
—— 没了……
—— 把开头的1 2 3去掉,看后面的三个数!
—— 呃……1 3总是在一起,顺序也不变。

\(n=5\)
1 2 3 4 5开头的可行结果:

1 2 3 4 5 1 3 5 2 4 
1 2 3 4 5 1 4 2 5 3 
1 2 3 4 5 2 1 5 4 3 
1 2 3 4 5 2 4 1 3 5 
1 2 3 4 5 3 1 4 2 5 
1 2 3 4 5 3 2 1 5 4 

其中有

1 2 3 4 5 1 3 5 2 4 
1 2 3 4 5 2 4 1 3 5 

满足之前推出来的规律。

等等,为什么是 \(n=5\) 而非 \(n=4\) 呢?

看题,题目中有

输入仅一行,一个 奇数 n,表示课表上的课程数。

所以看题很重要!

规律推广

用DFS可以跑出 \(n=7\)\(n=9\) 以及 \(n=11\) 可以发现如下规律:

前 n 个数是1,2,…,n。后 n 个数可以是(小于 n 的所有偶数+小于 n 的所有奇数)或(小于 n 的所有奇数+小于 n 的所有偶数)。所有奇偶数均按从小到大排列。

分块

分块就是再DFS可以接受的范围搜索,出了这个范围就用别的方法,例如上面的规律。

这是考场上常用的技巧,可以保证自己再拿到暴力分的基础上可能有更高的分。

总结

数学不好不要慌,暴力规律出奇迹!

posted @ 2020-09-19 16:46  Garbage-Only-One  阅读(16)  评论(0编辑  收藏