2023 暑假做题记录

开！

暑假开始，不能颓废！从市集开始记：

\(7.10\)

P3320 [SDOI2015] 寻宝游戏

题意

给定一棵树和一些关键点，求关键点的最小生成树的边权之和，关键点支持插入和删除。

解法

首先我们要明确的是，关键点的相对顺序是不会发生变化的，即按照 dfs 序排列。

因此我们可以通过 DFS+树上倍增分别预处理出每个点的 DFS 序和 LCA。我们可以用一个 set 来维护当前的关键点（按照 DFS 序排序）。对于每一个插入或删除的点，我们可以 \(\mathcal{O}(\log n)\) 求出它对答案的贡献。

P4198 楼房重建

题意

给定一些线段，第 \(i\) 条线段的两个端点分别为 \((x_i,0),(x_i,y_i)\)。求有多少端点分别为 \((0,0),(x_i,y_i)\) 的线段与其他 \(n-1\) 条线段没有交点？

解法

对于此题，显然只用关心每条线段的斜率。

我们先对值域 \([1,n]\) 建一颗线段树。对于线段树的每一个节点 \(p\)（值域为 \([l,r]\)），我们需要维护以下两个信息：忽略横坐标大于 \(r\) 或小于 \(l\) 的所有线段从而得到的答案 \(cnt\)，以及 \([l,r]\) 中斜率的最大值 \(mx\)。

直接维护 \(mx\) 是很容易的。对于 \(cnt\)，需要分讨。具体地，设 \([l,mid]\) 中斜率最大值为 \(mx'\)，并按 \(mx' \leq mx\) 和 \(mx' \gt mx\) 两种情况讨论。

\(7.11\)

P3188 [HNOI2007] 梦幻岛宝珠

题意

给定 \(n\)（\(n \leq 100\)） 件物品和背包的容量 \(w\)（\(w \leq 10^9\)），每件物品有5体积 \(w_i\) 和价值 \(v_i\)，保证 \(v_i\) 可以被写成 \(a \times 2^b\) 的形式（\(a \leq 9,b \leq 30\)）。求背包能装下物品的最大价值。

解法

这是一道非常神奇的背包问题。

直接做 0/1 背包复杂度显然会爆炸，自然可以考虑在二进制这一方面做文章。

设 \(f_{i,j}\) 表示目前转移到二进制数上的第 \(i\) 位，背包体积还剩 \(j \times 2^i\) 时所能得到的最大价值。

转移方程：\(f_{i,j}=\max(f_{i,j},f_{i+1,\frac{(j-((1<<i) \& w))}{2}})\)。

注意 \(f\) 数组的第二维上界为 \(n \times a\)。

\(7.12\)

P1402 酒店之王

题意

\(n\) 个人，\(p\) 间房间，\(q\) 道菜。每位客人有一些自己喜欢的房间和菜。求最多能满足多少客人的要求。

数据范围：\(n,p,q \leq 100\)。

解法

本人 AC 的第一道网络流

考虑如何构建一个网络流模型。首先将 \(n\) 个人和对应的房间和菜连边，此时这题已经完成了一大半。跑一遍最大流后能够发现，答案无不例外地偏大。

考虑将 \(n\) 个点中的每一个点拆成两个点，并在两点之间连一条容量为 \(1\) 的边，然后就能 AC 此题。

\(7.14\)

P2774 方格取数问题

题意

有一个方格图，每个方格中都有一个正整数。现要从方格中取数，使任意两个数所在方格没有公共边，求取出的数和的最大值。

解法

显然要考虑 最大流=最小割。

首先将所有方格分为两类。那么如何将方格的权值转化为删去的边的边权？可以从源点 S 连一条边到甲类方格，边权为甲类方格的权值。同理从乙类方格连一条边到汇点 T。边权为乙类方格的权值。

此时我们还要考虑一个问题：如何连接甲类方格和乙类方格？直接从甲类方格向相邻的乙类方格连边是可行的，但是边权必须为正无穷。这样一来最小割肯定不包括相邻方格之间的边，可以保证取出来的方格一定合法。

\(7.16\)

P1646 [国家集训队] happiness

解法

典中之典。

与上题做法类似，从 S 到每位同学连一条边，权值为选文科的价值，同理从每位同学到 T 连一条边，权值为选理科的价值。

为了保证最小割合法，我们考虑对于每对学生同选 文科/理科 的情况新建一个点，接下来的做法相信大家都会。

\(7.19\)

2944 [USACO09MAR] Earthquake Damage 2 G

解法

网络流基础题。

考虑拆点，对于一条有向边 \(x,y\)，在 \((x',y)\) 之间连边。

值得注意的一个点：源点 S 要和 \(1'\) 连边。

\(7.21\)

[AGC014D] Black and White Tree

模拟赛 T3，赛时爆零。

解法

可以运用贪心的思想解决此题。

对整棵树进行一遍 DFS。对于每一个节点 \(x\)，若它有未被标记过的子节点 \(y\)，则将 \(x,y\) 标记。如有多有相同的 \(y\)，只能标记其中之一。

若最后有未被标记的节点，则先手胜。

\(7.23\)

P1084 [NOIP2012 提高组] 疫情控制

解法

考虑二分答案，并将每支军队尽量地向上跳。

找出此时仍然无法覆盖到的子树，用贪心算法判定是否能够全部覆盖。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n \log n \log w)\)。

\(7.26\)

P2900 [USACO08MAR] Land Acquisition G

解法

经典斜率 DP 题。

显然对于长度相同的土地，只用保留其中宽度最大的。

在这之后，可以发现对于一组土地 \(i,j\)，若 \(w_i>w_j,l_i>l_j\)，则 \(j\) 不用考虑。

因而可以得到转移方程：\(f_i=\min(f_i,f_j+l_i \times w_{j+1})\)。

由于题目求的是最小值，所以我们可以考虑用单调队列维护一个下凸壳（讲错了轻喷），然后就做完了。

\(7.29\)

P9478 [NOI2023] 方格染色

解法

近七年来最简单的 D1T1。

考虑分别算出所有直线和斜线的面积并。前者可以用扫描线，后者暴力求解即可。

此时我们还要减掉斜线和直线的交点数。我们可以对于每条斜线，枚举每一条直线，判断两者是否有交点。

由于某些交点可能会被扫描两次，所以用一个 map 维护交点是否被计算过。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(q \log q)\)。

\(8.1\)

P9481 [NOI2023] 贸易

解法

近五年来最简单的 D2T1。

不难发现，所有点对的贡献都可以被拆分成向上到 lca 再由 lca 到目标点的两段，即 \(\text{dist}(x,y)=\text{dist}(x,\text{lca}(x,y))+\text{dist}(\text{lca}(x,y),y)\)。

所以只要求每个点到自己子树内所有点的最短路就可以快速算贡献。这里我用的是 dijkstra 求单源最短路。

对最短路有贡献的点只有该点的祖先和后代，所以把这些点提出来单独跑最短路即可。
每个点的复杂度是 \(\mathcal{O}(siz \log m)\) 的，而 \(\sum siz=2^nn\)，所以总复杂度为 \(\mathcal{O}(2^nn \log m)\)。

\(8.5\)

P2172 [国家集训队] 部落战争

解法

由于每支军队只能自上而下地跳，所以按矩阵中的路径建出的图是一个 DAG。

此时我们可以很快想到最小点路径覆盖问题。考虑将所有城镇转化成点，再对每个点都拆出一个虚点，构建一个二分图，最后跑一遍二分图最大匹配即可（实在太典了，故不再赘述）。

答案为城镇的数量减去二分图的最大匹配数。

\(8.9\)

P2468 [SDOI2010] 粟粟的书架

这题实在是奇葩，反正我以前没有见过这种题（要写两个 solve 函数）。

解法

先考虑 solve1()，发现可以记一个 \(sum_{x,y,val}\) 表示前 \(x\) 行 \(y\) 列有多少本书的厚度等于 \(k\)。对于每一问，从大到小枚举书的厚度，通过计算二维前缀和求出书的最小数目。事实上这是暴力做法，但是我加了点剪枝就不加 O2 过了。

对于 solve2()，显然可以用主席树来做。具体做法是二分答案，递归时尽量往右侧递归，最大化厚度。