【小结】斜率优化 DP

是单调队列优化 DP 里较难的一种。

HDU3507

如果没有 \(M\)，那么每一个单独放一堆更好。

但是有 \(M\)，问题变得复杂，考虑 DP。

根据题意，很容易想到一个一维的状态。

\(f_i\) 表示前 \(i\) 个单词全部写完的最小花费。

\(f_i=\min(f_i,f_j+(sum_i-sum_j)^2+M)(1\leq j < i)\)。

时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。

然后考虑优化枚举 \(j\) 的过程。

我们将枚举帮助转移的点称为“决策点”。

那么假设前面有 \(j,k\) 两个决策点，\(1\leq j<k<i\)。

不妨设 \(j\) 更优，那么需要满足的条件为：

\(f_j+(sum_i-sum_j)^2+M\leq f_k+(sum_i-sum_k)^2+M\)

\(\to f_j+sum_i^2+sum_j^2-2sum_isum_j+M\leq f_k+sum_i^2+sum_k^2-2sum_isum_k+M\)

\(\to f_j+sum_j^2-(f_k+sum_k^2)\leq 2sum_i(sum_j-sum_k)\)

设 \(y1=f_j+sum_j^2,y2=f_k+sum_k^2,x1=sum_j,x2=sum_k\)。

那么式子就被换元成了这样：

\(y1-y2\leq 2sum_i(x1-x2)\)

\(\to \frac{y1-y2}{x1-x2}\leq 2sum_i\)。

其中，\(\frac{y1-y2}{x1-x2}\) 为类似斜率的东西。所以这种技巧称之为“斜率优化 DP”。

那么考虑接下来怎么干。

如果斜率小于等于 \(2sum_i\)，那么前面的点 \(k\) 就可以被踢出。因为 \(k\) 已经可以被 \(j\) 完全替代了。

所以维护一个单调队列，使得斜率不断增大（其实就是下凸壳）每一次在队列中放入节点编号。

当点 \(i\) 查询前面最小值的时候，把队头的所有斜率小于等于 \(2sum_i\) 的点出队（因为已经被替代，不是最优的）。

如此，根据单调性，后面的斜率必定都大于 \(2sum_i\)。

所以后面的一个不如一个优（至少在目前的局面下）。

如果前面的点，已经不如这个点优了，那么在后面 \(2sum_i\) 递增的情况下，永远都不如这个点优。可以直接被踢出了。

踢出之后，队头就是最优决策点。（前面不如这个点优，后面目前也不如）。

当 \(sum_i\) 不断增大时，本质上就是找到最小的一个大于 \(2sum_i\) 的点作为最优决策点。

决策点会不断地往后移动。

计算完答案，就是入队 \(i\)。要保持队列的单调性，也就要把斜率小于等于当前直线斜率的点全部弹走。

这样正确吗？一定正确。因为前面的点比你斜率大，那么前面的点，它干掉别人之前，别人已经把它干掉了。

所以它不可能称为最优决策点。

所以这样就可以正确的维护单调性。

可以使用斜率优化的形式大概是这样的：

\(f_i=\max(f_i,f_j+A_iB_j+C)\)。

斜率优化的使用条件：\(sum_i\) 单调。

注意：

1. 删除/添加元素的时候必须保证 \(h+1\leq t\)。也就是队列中至少有 \(2\) 个元素。

2. 分数比较大小用交叉相乘。

top 表示分子。down 表示分母。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*

*/
struct FSI{
	template<typename T>
	FSI& operator >> (T &res){
		res=0;T f=1;char ch=getchar();
		while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
		while (isdigit(ch)){res=res*10+ch-'0';ch=getchar();}
		res*=f;
		return *this;
	}
}scan;
typedef long long ll;
const int N=5e6+10;
int n,i,j,h,t;
ll a[N],f[N],q[N],sum[N],m;
ll top(int i,int j)
{
	return f[i]+sum[i]*sum[i]-(f[j]+sum[j]*sum[j]);
}
ll down(int i,int j)
{
	return sum[i]-sum[j];
}
int main()
{
	while (scanf("%d%lld",&n,&m)!=EOF)
	{
		for (i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
		for (i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
		h=1;
		t=0;
		q[++t]=0;
		for (i=1;i<=n;i++)
		{
			while (h+1<=t&&top(q[h+1],q[h])<=2*sum[i]*down(q[h+1],q[h])) h++;
			j=q[h];
			f[i]=f[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m;
			while (h+1<=t&&top(q[t],q[t-1])*down(i,q[t])>=top(i,q[t])*down(q[t],q[t-1])) t--;
			q[++t]=i;
		}
		printf("%lld\n",f[n]);
	}
	return 0;
}