【小结】树状数组二分

例题：给定数列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，有 \(q\) 次询问，每次询问给定 \(k\)，求区间第 \(k\) 小。\(1\leq n,q\leq 2\times 10^6\)。

考虑普通的树状数组+二分肯定是过不去的。因为复杂度是 \(\mathcal O(qlog^2n)\)。

所以要优化成单 log。可以考虑拆位。令 \(i\) 从 \(L-1\) 枚举到 \(0\)。其中 \(L\) 是 \(\lceil log_2n \rceil\)。然后就可以二进制拆位，对于一个可以加上的地方就加上。

假设当前的位置是 \(pos\)，枚举到了 \(i\)，那么 \(c_{pos+(1<<i)}\) 表示的就是 \([pos+1,pos+(1<<i)]\) 的和。直接累加进 \(pos\) 然后判断是否合法即可。

求最后一个 \(\leq k\) 的：

int Q(int k)
{
    int i,pos=0,res=0;
    for (i=L-1;i>=0;i--)
    {
        if (pos+(1<<i)<=n&&res+c[pos+(1<<i)]<=k)
        {
            pos+=(1<<i);
            res+=c[pos];
        }
    }
    return res;
}

求第一个 \(\geq k\) 的（\(c_{pos-2^i}\) 为左半部分，\(c_{pos}\) 为右半部分）：

int Q(int k)
{
    int i,pos=(1<<L),res=0;
    for (i=L-1;i>=0;i--)
    {
        if (c[pos-(1<<i)]>=k) pos-=(1<<i);
        else k-=c[pos-(1<<i)];
    }
    return res;
}