【test】日照集训 Day1

考试题解

A

一个序列，可以进行一次区间加 k 操作，其中 k 是固定值。求序列最大公因数最大是多少

题解

枚举，预处理出来前缀后缀 gcd 值，中间扫过去计算区间加 \(k\) 后的 gcd，然后合并
答案。

答案很小的时候：枚举答案！找每个位置需要/不需要被加 \(k\)，需要加 \(k\) 的位置形成一个区间则该答案可行。时间复杂度 \(O(n \times v)\)。

答案是由前缀 gcd，后缀 gcd，中间区间整体加 \(k\) 后的 gcd 拼起来的，前缀 gcd 只有 \(O(\log v)\)段，每一段一定是取最大的 \(l\) 最优，所以有用的 \(l\) 只有 \(O(\log v)\) 个固定一个左端点，暴力扩展右端点计算，单次 \(O(n)\)，总时间复杂度 \(O(n\log v)\)。

单次 时间复杂度证明：两个数相同时，gcd 复杂度 \(O(1)\)；两个数不同时，gcd 复杂度 \(O(\log n)\)。最多只有 \(O(\log n)\) 个不同，时间复杂度 \(O(n + \log^2 n )\)。

B

有向图边有边权。走边需要花钱，初始有 \(p\) 的钱，每在一个点工作一次赚 \(a_i\) 的钱，问从 \(1\) 到 \(n\) 最少需要工作几次。\(n \le 800 ,m \le 3000\)

题解

如果 \(a_1\) 是最大值：所有工作都在 \(1\) 号点进行，最短路 计算答案。

如果图是一棵 外向树：只有 \(1\) 到 \(n\) 的链有用！变成一个 序列问题。设 \(f_i\) 表示 \(1\) 走到了 \(i\) 号点最少工作次数，但是这个信息不够，还需要记录最少工作次数下现在最多的钱的数量。每次从 \(i\) 走到 \(i + 1\) 如果钱足够就直接走，如果钱不够，选择在序列前缀中最大的 \(a_i\) 的点工作，相当于是以前走到那个点的时候多工作一些次数现在把钱带过来（延迟工作）。时间复杂度 \((O(n + m)\)。

状态答案记录二元组 (最少工作次数，最多钱数)，这两维严格偏序，即先满足最少工作次数，再满足目前钱数最多。因为只有迫在眉睫需要钱再去工作，而走的越远，可能会遇到更大的 ，工作获得的收益会更大。

如果图是 DAG：设 \(f_i\) 仍如前文设计，则走到 \(i\) 点有很多条路径，不知道走过来的最大的 是哪一个。那就额外记录下来最大的 \(a_i\) 的位置，设 \(f_{i,x}\) 表示走到了 \(i\)，一路走来最大 \(a_i\) 位置在 \(x\)，现在的（最少工作次数，最多钱数）。这样转移。时间复杂度 \(O(n\times m)\)。

对于一般图把这个东西上 dijstra 转移。时间复杂度 \(O(nm \log n)\)（对于一个 \(i\)，最多 \(m\) 条边相连，所以最多 \(m\) 个最大值位置）。

C

题解

首先注意到性质：对于一个连通块，只保留次大值到最大值的链，这样一定是最优的（扔掉多余的点，可能还能造成额外贡献）。

因此考虑 dp。设 \(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 子树内除了一条 \(u\) 点到权值为 \(i\) 的点的链没有贡献外，其余点都贡献了的 最优答案，设 \(g_u\) 表示 \(u\) 子树内的点都贡献的 最优答案。

新加入一个儿子 \(v\) 时有转移：

• \(g_u = \max(g_u + g_v, f_{u,i} + f_{v,j} + \min(i, j))\)
• \(f_{u,i} = \max(f_{u,i} + g_v,\sum_{ch \ne v} g_{ch} + f_{v,i})\)

注意，这里 \(i\) 可以等于 \(w_u\)。

每次暴力转移，单次 \(O(n^2)\)，总时间复杂度 \(O(n^3)\)。
发现瓶颈主要在于第一条转移。发现可以把 \(\min\) 拆开，于是

• \(g_u = \max(g_u + g_v, f_{u,i} + i + f_{v,j})(i\le j)\)
• \(g_u = \max(g_u + g_v, f_{u,i} + f_{v,j} + j)(i > j)\)

发现可以记录前缀 \(pre_i\) 表示 \(\max_{j\le i}(f_{v,j} + j)\)，后缀 \(suf_i\)，表示 \(\max_{j \le i}(f_j)\)。这样就可以优化到 \(O(n^2)\)。

进一步优化，发现转移可以用线段树合并维护。
于是，开一棵值域线段树（以 dp 数组第二维为下标）。每次可以先将 \(u,v\) 的两棵线段树全局加，然后合并。同时在合并过程中维护 \(f_{u,i} + f_{v,j} + j\)。
具体的，对于一个叶子，就是 \(f_{u,i} + f_{v,i}+i\)。对于一个区间 \([l,r]\)，设它的中点为 \(mid\)

• 可能是 \(u\) 的左区间与 \(v\) 的右区间，即 \(f_{u,i} + f_{v,j}+i\)
• 可能是 \(u\) 的右区间与 \(v\) 的左区间，即 \(f_{u,i} + f_{v,j}+j\)
• 可能是左区间答案
• 可能是右区间答案

所以对每个区间维护一个 \(\max(f_{u,i} +i),\max(f_{u,i})\) 就可以了。