【学习笔记】 欧拉函数

定义

欧拉函数的形式化定义：

\[\phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1] \]

表示 不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数。

性质

• \(n=\sum_{d|n}\phi(d)\)
  证明：设有 \(n\) 个分数 \(\frac{1}{n},\frac{2}{n}...\frac{n}{n}\)，将他们约分后化为最简分数 \(\frac{a}{d}\) 的形式，其中 \(d|n\)，可以发现分母为的分数有 \(\phi(d)\) 个，而总共有 \(n\) 个分数，所以得证。

• 若 \(p\) 为质数，则 \(\phi(p)=p-1\)

• 若 \(n=p^k\)，\(p\) 为质数，则 \(\phi(n)=p^k-p^{k-1}\)
  证明：共有 \(p^k\)个数，因为 \(p\) 为质数，所以与 \(n\) 不互质的数，一定含有因子 \(p\)，共有 \(p^k\div p=p^{k-1}\) 个倍数，相减得证。

• 若 \(p,q\) 互质，则 \(\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)\)(我也不会证明QWQ)

• 设 \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)，则 \(\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\)
  证明：\(\phi(n)=\phi(p_1^{a_1})\phi(p_2^{a_2})...\phi(p_k^{a_k})=(p_1^{a_1}-p_1^{a_1-1})(p_2^{a_2}-p_2^{a_2-1})...(p_k^{a_k}-p_k^{a_k-1})=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\)
  推论：\(\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)\frac{gcd(p,q)}{\phi(gcd(p,q))}\)

实现

欧拉线性筛 \(+\) 性质 \(4\) 和性质 \(5\) 的推论。