【刷题笔记】[ABC180F] Unbranched

【刷题笔记】Unbranched

题意

求\(N\)个点，\(M\)条边且满足以下条件的图的数量：

1.图中无自环；

2.每个点度数最多为2；

3.连通块大小的最大值恰好为L。

答案对 \(10^9+7\) 取模。

\(1\le M,L \le N，2\le N \le300\)

思路

注意构造出来的图，不一定是联通的，所以容易联想到将一个联通分量设为一个阶段。由于构造方案，不光与点数有关，还与图的边数有关，所以设\(f_{i,j}\)表示有\(i\)个点\(j\)条边时最大联通分量是\(L\)时的方案数。
设\(i\)表示当前图的总点数，\(j\)表示当前图的总边数，\(k\)表示当前联通分量的点数。
注意性质，如果一个图中的每个点度数小于等于2，那么形成的图一定是一条链或一个环或几个散点。
因此在枚举当前联通分量的点数时，不用在枚举他的边数，因为这个图只有三种情况，所以边数:

1.边数=点数-1，此时是一条链      

2.边数=0，此时是一个点    

3.边数=点数，此时是一个环       

考虑当前联通分量是一个环,那么这\(k\)个点就可以从\(n-(i-k)\)个点中选择，但是注意，从\(1,2,3,4\)个点中选\(1,2\)点，和选择\(3,4\)点是一样的，因为余下的点也会在以后的转移中计算，此时就会有几种情况被重复计算，所以我们不妨钦定\(1\)个点在当前所选点集中，此时就有

\[C_{n-i+k-1}^k \]

中选法,这样就能做到不重不漏
在考虑环中点的排列情况，此时为了不重不漏，还是先固定一个点，剩下的有\(k-1\)个点,此时方案数就是

\[A_{k-1}^{k-1} \]

注意选定\(1\)时剩下三个点排列分别为\(2,3,4\)和\(4,3,2\)时，是相同构造，因此是环时的方案数为

\[\sum_{k=2}^{L}f_{i-k,j-k}\times C_{n-i+k-1}^{k-1}\times \frac{A_{k-1}^{k-1}}{2} \]

在考虑是一个链时，与环时大同小异，但是此时，排列时不需要钦定一个点了，因为链不是首尾相接的，直接放公式

\[\sum_{k=1}^{L}f_{i-k,j-k+1}\times C_{n-i+k-1}^{k-1}\times \frac{A_k^k}{2} \]

于是，\(DP\)转移方程

\[f_{i,j}=\sum_{k=1}^{L}f_{i-k,j-k+1}\times C_{n-i+k-1}^{k-1}\times \frac{A_k^k}{2}+\sum_{k=2}^{L}f_{i-k,j-k}\times C_{n-i+k-1}^{k-1}\times \frac{A_{k-1}^{k-1}}{2} \]

因为答案是恰好为\(L\)的方案数，所以利用容斥原理，跑两遍，一遍最大为\(L\)\(L-1\)答案就是两次的\(f_{n,m}\)做差
因为题目还要取余，也就是说还要求\(2\)的逆元，这里放一个求\(2\)的逆元的好方法，先放公式

\[\frac{1}{2}\% m=\frac{m+1}{2} \]

证明
因为

\[(2\times \frac{1}{2})\% m\equiv 1 \]

\[(2\times \frac{m+1}{2})\% m\equiv1 \]

所以

\[\frac{1}{2}\% m=\frac{m+1}{2}\%m=\frac{m+1}{2} \]

\(attention\)

1.在预处理组合数和阶乘时，都要从\(0\)开始,一般\(DP\)赋初值都从\(0\)开始
2.特判k=1时，此时就是\(1\)个点，不用除以2

\(code\)

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