欧拉函数

欧拉函数

定义

欧拉函数（Euler's totient function）, 即 \(φ(n)\) , 表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数.

\(eg : φ(1)=1\).

当 \(n\) 是质数的时候 , 显然有 \(φ(n)=n-1\) .

性质

• 欧拉函数是积性函数 .

即对任意满足 \(gcd(a,b)=1\) 的整数 \(a,b\) , 有 \(φ(ab)=φ(a)φ(b)\) .

特别地 , 当 \(n\) 是奇数时 \(φ(2n)=φ(n)\) .

证明参考剩余系的复合 .

• \(n=\sum_{d\mid n}φ(d)\) .

证明

利用莫比乌斯反演相关知识可以得出 .

也可以考虑 : 如果 \(gcd(k,n)=d\) , 那么 \(gcd(\frac{k}{d},\frac{n}{d})=1\) , \((k<n)\) .

如果我们设 \(f(x)\) 表示 \(gcd(k,n)=x\) 的数的个数 , 那么 \(n=\sum_{i=1}^{n}f(i)\) .

根据上面的证明 , \(f(x)=φ(\frac{n}{x})\) , 从而 \(n=\sum_{d\mid n} φ(\frac{n}{d})\) . 注意到约数 \(d\) 和 \(\frac{n}{d}\) 具有对称性 , 所以上式化为 \(n=\sum_{d\mid n} φ(d)\) .

• 若 \(n=p^k\) , 其中 \(p\) 是质数 , 那么 \(\varphi(n)=p^k-p^{k-1}\) . (根据定义可知）
• 由唯一分解定理 , 设 \(n=\prod_{i=1}^{s}{p_i}^{k_i}\) , 其中 \(p_i\) 是质数 , 有 \(\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^{s}\frac{p_i-1}{p_i}\).

证明

• 引理:设 \(p\) 是质数 , 那么 \(\varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1)\) .

  证明:显然对于从 \(1\) 到 \(p^k\) 的所有数中 , 除了 \(p^{k-1}\) 个 \(p\) 的倍数以外其他数都与 \(p^k\) 互素 , 故 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times(p-1)\) , 证毕 .

  接下来我们证明 \(\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^{s}\frac{p_i-1}{p_i}\) . 由唯一分解定理与 \(\varphi(x)\) 函数的积性

\[\begin{aligned} \varphi(n)&=\prod_{i=1}^{s}\varphi(p_i^{k_i})\\&=\prod_{i=1}^{s}(p_i-1)\times p_i^{k_i-1}\\&=\prod_{i=1}^{s}p_i^{k_i}\times(1-\frac{1}{p_i})\\&=n\prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_i}) \end{aligned}\]

• 对任意不全为 \(0\) 的整数 \(m\) , \(n\) , \(\varphi(mn)\varphi(gcd(m\) , \(n))=\varphi(m)\varphi(n)gcd(m\) , \(n)\) .

  可由上一条直接计算得出 .