POJ2478 Farey Sequence

http://poj.org/problem?id=2478

题意：求欧拉函数前缀和

欧拉函数

数据范围小，不需要杜教筛

利用线性筛求欧拉函数，通过求解欧拉函数的公式计算：

\[\varphi(n)=(1-\frac{1}{p_{1}}) (1-\frac{1}{p_{2}})\cdots(1-\frac{1}{p_{m}})n \qquad(p_{i}为n的质因数) \]

时间复杂度：\(O(n)\)

先看代码，再解释几点

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 1000005
using namespace std;
int n,cnt,prime[N];
bool pri[N];
long long phi[N],s[N];
int main()
{
    for (int i=2;i<=N;i++)
        phi[i]=i;
    for (int i=2;i<=N;i++)
    {
        if (!pri[i])
            prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            int a=i*prime[j];
            if (a>N)
                break;
            pri[a]=true;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[a]=phi[i]*prime[j];//句1
                break;
            }
            phi[a]=phi[i]*phi[prime[j]];//句2
        }
    }
    for (int i=1;i<=N;i++)
        s[i]=s[i-1]+phi[i];
    for (scanf("%d",&n);n;scanf("%d",&n))
        printf("%lld\n",s[n]);
    return 0;
}

\(句2，phi[a]=phi[i]*phi[prime[j]]\)很好理解

\(句1，phi[a]=phi[i]*prime[j]\)是为什么，不是\(\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)\)吗？

那是因为\(i\)和\(prime[j]\)不互质！

因此，不要忘记\(\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)\)的充分必要条件为\(\gcd(n,m)=1\)

证明见此处