【Luogu P2568】GCD
题目大意：
快速求：
\[\large{\sum_{d\in prime}\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{n}[\gcd(x,y)==d]}
\]
正文：
方法一：
通过预处理筛法筛出素数再暴力枚举\(x\)和\(y\)。
预期得分20分。
方法二：
在方法一的基础考虑化简式子，因为两者的最大公因数都是 \(d\)，所以 \(x|d\) 且 \(y|d\)，那么：
\[\large{\sum_{d\in prime}\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{n}[\gcd(x,y)==d] = \sum_{d\in prime}\sum_{x=1}^{\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{y=1}^{\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}[\gcd(x,y)==1]}
\]
发现 \(\sum_{x=1}^{\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{y=1}^{\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}[\gcd(x,y)==1]\) 有对称性，就是说假设 \(x=3,y=5\)，像这样的情况，\(x=5,y=3\) 又算了一次，我们不妨把其式子化成 \(\sum_{x=1}^{\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}2\sum_{y=1}^{x}[\gcd(x,y)==1]\)。但这是错的，假设 \(x=2,y=2\)，原本只算了一次，但我们算了两次，所以我们应该化成 \(\sum_{x=1}^{\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}(2\sum_{y=1}^{x}[\gcd(x,y)==1])-1\)。
又可以发现\(\sum_{x=1}^{\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}(2\sum_{y=1}^{x}[\gcd(x,y)==1])-1=2(\sum_{x=1}^{\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}\varphi(x))-1\)
所以最后要求出：
\[\large{\sum_{d\in prime}2(\sum_{x=1}^{\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}\varphi(x))-1}
\]
预期得分100分。
