AtCoder Regular Contest-- (ARC) 229 解题报告

ARC229A

思考操作的本质是什么：如果我们先构造一个全 \(R\) 字符串，然后在所有空隙里插入 A 或 C，那么一次操作就是将 AC 交换成 CA。

因此我们考虑构造一个长度为 \(99\) 的字符串。所有偶数位都是 R，奇数位上是 A 或 C。假设 C \(<\) A，\(f(S)\) 即为去掉 R 之后剩余字符串的逆序对。

问题转化成了，构造一个长为 \(50\) 的 01 串，使得其中包含 \(0 \le X \le 600\) 个逆序对，问题是简单的。

ARC229B

显然反过来看问题：\(cur\) 一开始任定一个值，后来下标不断减，\(cur\) 可以变成 \(2cur\) 或者 \(2cur + 1\)，然后接着减。

依旧转换思考系，我们发现这个操作其实等效于在一个数组 \(p_i = a_i - 2a_{i + 1}\) 上进行 \(-1\) 操作。

那么最大操作次数其实是 \(\max p_i\)。但是由于我们没有考虑 \(p_n\)，所以至少需要用一次操作，答案就是 \(\max(1, \max p_i)\)。

ARC229C

那么显然的是，\(A_1\) 和 \(A_n\) 都会被少算一次，并且相邻两数之和的奇偶性也会影响答案。那么我们只需要考虑 \(A_1, A_n\) 的所有奇偶性组合即可。在同种奇偶性组合中，\(A_1, A_n\) 直接挑最大的就好了。

考虑固定了 \(A_1, A_n\) 后如何构造最小的。显然，相邻元素奇偶性最好不同。那么直接贪心就做完了。

ARC229D

首先这是一个公平组合游戏，有一种方法就是猜一个 P 状态然后证明。

首先，如果剩下的总个数小于 \(K\)，那肯定是 P 了。

我们手玩一下最小值：发现似乎可以让最小值为 \(m\)，然后 \(K > \sum A_i - m\) 就是 P position。

然后考查一个回合：因为总共有 \(K + 1\) 堆石子，所以进行 \(K\) 次操作之后，显然有一堆没有变。

那么，如果这一堆包括了最小值，那么只需要满足那一堆没变的至少比新最小值 \(\ge K\)。

那么不妨直接让最小值一次性减少 \(K\)。

考虑到终止状态的 \(m = 0\)，那么我们对 P position 加一个限定，\(K|m\)。

这样，如果碰了最小值，就至少需要减去 \(K\) 了。但是如果最小值不变，显然剩下的多余数量又不够满足 \(K\) 次操作，所以 P 不能到达 P。

那么考虑 N 能否到达 P：

• 假设此时的 \(K|m\)，那直接把其它的堆全部变成 \(m\) 即可。因为根据定义，此时至少有 \(K\) 个石子可供操作。

• 否则，将其中 \(K\) 堆石子变成离 \(m\) 最近的 \(K\) 的倍数即可。

所以，P position 当且仅当

\[K|\min A_i, K > \sum A_i - \min(A_i) \]