P9746 「KDOI-06-S」合并序列 解题报告

题意：有一个数组，如果一个区间 \([l, r]\) 满足 \(\exists k \in (l, r), a_l \oplus a_r = \oplus a_k\)，那么可以将这个区间压缩成一个数 \(\bigoplus_{l \le i \le r} a_i\)。

我们将 \(\bigoplus_{l \le i \le r} a_i\) 记作 \(S(l, r)\)。

\(1\leq T\leq20\)，\(1\leq n\leq500\)，\(0\leq a_i<512\)。

测试点编号	\(n\)	\(\sum n\leq\)	\(a_i<\)
\(1\)	\(=1\)	\(20\)	\(512\)
\(2\)	\(=2\)	\(40\)	\(512\)
\(3\)	\(=3\)	\(60\)	\(512\)
\(4\)	\(=4\)	\(80\)	\(512\)
\(5\)	\(=5\)	\(100\)	\(512\)
\(6\sim7\)	\(\leq40\)	\(800\)	\(512\)
\(8\sim9\)	\(\leq70\)	\(1~400\)	\(512\)
\(10\sim11\)	\(\leq130\)	\(2~600\)	\(512\)
\(12\sim13\)	\(\leq300\)	\(6~000\)	\(128\)
\(14\sim15\)	\(\leq500\)	\(3~000\)	\(64\)
\(16\sim17\)	\(\leq500\)	\(3~000\)	\(128\)
\(18\sim20\)	\(\leq500\)	\(10~000\)	\(512\)

请对程序的常数以及效率给予充分的信任。

似乎特判一下 \(n \le 5\) 的数据，然后总司令可以拿到 \(35\)。

首先就是对 \(n \in [1, 5]\) 进行特判，你可以拿到 \(25\) 分。

然后肯定是区间 DP，考虑设计状态 \(f(l, r)\) 代表 \([l, r]\) 是否能被合并成一个数。

然后，此时的 \(a'[L]\) 和 \(a'[R]\) 都应该是原数组在 \([l, r]\) 上的一段前，后缀。然后 \(a'[K]\) 必然是一段区间 \([u, v]\) 使得 \(x < u \le v < y\)。

也就是说，只要存在一种 \(l \le x < u \le v < y \le r\) 的方案，使得 \(S(l, x) \oplus S(u, v) \oplus S(y, r) = 0\) 且 \(f(l, x)f(u, v)f(y, r) = 1\)，那么 \(f(l, r) = 1\)。

你可以暴力枚举 \(x, u, v, y\)，这样是 \(\mathcal{O}(n^6)\) 的。可以获得和特判一样的分数。

优化到 \(\mathcal{O}(n^5)\) 是容易的：你只需要枚举 \(u, v, y\)，并且在枚举 \(u\) 的同时，将 \([l, u - 1]\) 上的每个前缀和塞到桶里，然后枚举 \(y\) 的时候检查桶中是否有 \(S(u, v) \oplus S(y, r)\) 即可，有 \(35\) 了。

考虑继续优化。显然枚举 \(x, y\)，然后判断 \([x + 1, y - 1]\) 内是否有合法区间是很有前途的。因此，我们新增状态 \(g(i, j, k)\) 代表区间 \([i, j]\) 内是否有异或和为 \(k\)，且可以被合并的连续子段。

显然对于 \(g(l, r, k)\)，我们可以大力枚举 \([l, r]\) 中的每一个区间 \([l', r']\)，如果遇到 \(f(l', r') = 1\) 且 \(S(l', r') = k\)，那么 \(g(l, r, k) = 1\)。这样的话，\(g\) 数组的复杂度是 \(\mathcal{O}(n^4)\) 的。对于 \(f(l, r)\)，我们枚举 \(x, y\)，然后如果出现 \(f(l, x)f(y, r)g(x + 1, y - 1, S(l, x) \oplus S(y, r)) = 1\)，那么 \(f(l, r) = 1\)，这样总复杂度也是 \(\mathcal{O}(n^4)\) 的了。可以拿 \([45, 100]\)，如果你对程序效率给予充分信任的话，可能会取到上界。

可不可以再少枚举一个数呢？如果我们只枚举 \(x\)，那么就需要维护一个 \(h(j, k)\) 代表最大的 \(u\)，使得存在 \(u \le v < y \le r = j\)，\(S(u, v) \oplus S(y, r) = k\) 且 \(f(u, v)f(y, r) = 1\)。考虑对 \(h\) 的计算：首先就是算一下 \(z(i, j)\) 代表找到最大的 \(u\) 使得存在 \(u \le v < i\)，且 \(f(u, v) = 1\)。计算这个其实是容易的。计算完这个，再扫一遍即可计算 \(h(i, j)\)。再扫一遍即可计算 \(f(l, r)\)。

输出方案时模仿转移，直接找到一种可能的转移就好。总时间 \(\mathcal{O}(n^3)\)。