P8594 「KDOI-02」一个仇的复 解题报告

被「模拟赛 T4 + 神秘部分分」骗了压根没想推式子，怎么回事呢？

观察

到 \(k\) 的值域很小，直接枚举有多少个竖着的 \(2 \times 1\) 的隔板。进一步地，我们枚举这几个隔板把 \(2 \times n\) 的长条分成了几段。

模仿

为啥要枚举分成几段？考虑现在我们需要在总长度为 \(len\)，一共被分为 \(k\) 段的长条中放置 \(cnt\) 块横着的木板，有多少种可能。

首先对于每一段，我们先用两个横着的长条把她填满，现在一共有 \(2k\) 条木板，还需要插入 \(cnt - 2k\) 条木板。

考虑在长条上划一刀，那么木板会多一块，于是需要划 \(cnt - 2k\) 刀。

那么考虑一共有几个位置可以划一刀：假设某一块的长度为 \(len'\)，那么这一块内一共有 \(2(len' - 1)\) 个可以划的位置，那么总共就有 \(2(len - k)\) 个位置，所以一共有 \(\binom{2(len - k)}{cnt - 2k}\)。

出击！

考虑如下问题：想在 \(n\) 个空位里放入 \(i\) 个球，然后剩下的空位连接成 \(j\) 段有几种可能。

首先 \(i\) 个球会把 \(n\) 分为 \(i + 1\) 个间隙，我们需要在这 \(i + 1\) 个间隙里选择 \(j\) 个间隙 \(\ge 1\)，有 \(\binom{i + 1}{j}\) 种选法。

然后就变成了将 \(n - i\) 个球分到 \(j\) 个盒子里，每个盒子不能空的问题，插板可以得到 \(\binom{n - i - 1}{j - 1}\)。

\[\sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 1}^{i + 1} \binom{i + 1}{j} \binom{n - i - 1}{j - 1} \binom{2(n - i - j)}{k - i - 2j} \]

我不玩第五人格。