U721597/T810485 牛來 解題報告

題目傳送門。

我出的第一道 adhoc，可能質量不是很好。

題意已經非常清晰明了了，這裡直接講思路。

首先研究一下 \(\frac{sin(cx)}{cx}\) 的形态，大致长这样：

然后我们的目标其实比较明确：先找到正半轴上第一个 \(f(x) \le 0\) 的点 \(x_0\)，然后在 \((0, x_0]\) 上进行二分找到第一个零点就好了。

我会倍增！

因为 \(c\) 其实是有一个上界 \(U\) 的，在这里我们让 \(U_0 = 10^9\)。这样，我们一定有 \(x_0 \ge \frac{\pi}{U_0}\)。因此，我们从 \(\frac{\pi}{U_0}\) 开始往后倍增跳，具体过程如下：令 \(x_0 = \frac{\pi}{U_0}\)，然后每次查询 \(f(x_0)\)，如果 \(f(x_0) > 0\)，那么 \(x_0 \leftarrow 2x_0\) 继续查询，否则我们就找到所需了。

这个过程显然由 \(c\) 的范围直接决定，差不多要使用 \(\mathcal{O}(\log V)\) 次查询。

然后找到之后，直接二分就可以了，你还需要差不多 \(20\) 次查询。这样你可以拿到 \(60\) 分。

但是注意到 \(60 < 100\)，有没有更强力的算法呢？

我会随机化！

考虑到想要确定性比较难，直接在这基础上引入随机化的算法。

具体的思考过程是：我们观察到，当 \(x\) 很大时，\(f(x)\) 会很小，这其实可以写成一个不等式：\(|f(x)| = g(x)\cdot\frac{|\sin(cx)|}{cx} \le \frac{2}{cx}\)。

然后我们发现这玩意其实可以作为 \(c\) 的上界：\(U_1 = \frac{2}{x\,|f(x)|} \ge c\)。

然后我们显然可以发现，\(U_1 <<< U_0\) ，\(\frac{U}{c} = \frac{2}{g(x)\,|\sin(cx)|}\)。

因为 \(g(x) \ge 1\)，所以只要 \(|\sin(cx)| \ge \frac12\)，就有 \(U/c \le 4\)。

一个周期内 \(|\sin \theta| \ge \frac12\) 恰好占 \(\frac23\) 的长度，所以：

\[\mathbb{P}\!\left(|\sin(cx)| \ge \tfrac12\right) = \frac{2}{3} \]

所以多随机几次询问的相位即可。取到 \(U\) 最大的那个然后接着倍增就行了，倍增次数大幅降低。

这时，期望查询次数来到了 \(25\) 次左右，可以通过。

我会数学！

其实添加 \(g(x)\) 扰动就是为了卡掉数学做法。在没有这个扰动的情况下，直接查询 \(f(x)\) 和 \(f(2x)\) 然后推式子就好了，可以 \(2\) 次查询完成。