连续段 DP 学习笔记

一种用于统计符合特定条件排列个数的 DP 模型，这里的条件和具体位置无关，一般是相邻元素的大小关系限制。

考虑问题：统计 \([1,n]\) 的全排列有多少种。

考虑对某一个排列的构造方案：\([4,2,3,5,1,6]\)。我们从小到大插入元素，并且规定：如果插入的元素中出现两个相邻的，她们必须合并成一个块。并且时刻保持相对位置与结果一样。

• 加入 \(1\)，序列为 \([1]\)，共 \(1\) 段。

• 加入 \(2\)，序列为 \([2, 1]\)，共 \(1\) 段。

• 加入 \(3\)，序列为 \([{2,3}, 1]\)，共 \(2\) 段。

• 加入 \(4\)，序列为 \([{4, 2, 3}, 1]\)，共 \(2\) 段。

• 加入 \(5\)，序列为 \([{4, 2, 3, 5, 1}]\)，共 \(2\) 段。

• 加入 \(6\)，序列为 \([{4,2,3,5,1,6}]\)，共 \(1\) 段。

其实，按照这种规则构造一个排列，每种排列和每种构造方案是一一对应的，因此，我们可以 DP 统计一共有多少种构造。

于是，我们设计状态 \(f(i, j)\) 代表插入了 \([1,i]\)，目前分为 \(j\) 段的总方案数。

那么考虑加入 \(i + 1\)，有以下三种转移情况：

• \(i + 1\) 自成一段，有 \((j + 1) \cdot f(i, j) \to f(i + 1, j + 1)\)。

• \(i + 1\) 吸附在一段上，有 \(2j \cdot f(i,j) \to f(i + 1, j)\)。

• \(i + 1\) 合并两段，有 \((j - 1) \cdot f(i, j) \to f(i + 1, j - 1)\)。

显然最终元素都是相邻的，所以只有一段，答案为 \(f(n, 1)\)，在这个没有任何限制的情况下，显然 \(f(n, 1) = n!\)。

那么接下来加入限制：排列必须形如 \(...p_i < p_{i + 1} > p_{i + 2} < p_{i + 3}..., p_1 = s, p_n = t\)。

此时，连续段 DP 的作用便体现出来了：因为插入元素时，我们只考虑她两边的数的大小，因此块内被包裹的元素可以不用考虑，直接等价合并。

考虑加入 \(i + 1 \neq s, t\)，考虑三种情况：

• \(i + 1\) 自成一段，有 \((j + 1 - [i + 1 > s] - [i + 1 > t]) \cdot f(i, j) \to f(i + 1, j + 1)\)。

• \(i + 1\) 被吸附在一段上，因为 \(i + 1\) 不是头/尾，所以只能吸附在中间 \(2(j - 1)\) 个位置上，但是如果不合并她左右的区间，那么在之后的添加中一定会出现连续两个上升/下降，故不存在这种转移。

• \(i + 1\) 合并两段，有 \((j - 1) \cdot f(i, j) \to f(i + 1, j - 1)\)。

答案是 \(f(n, 1)\)。