期望 DP 随笔

我根本就不会期望 DP，连 recollecter 都不会，所以这些东西很简单的话，你可以不看，我是写给我自己看的。

考虑我们有如下问题：

现在在一个 DAG 的唯一入度为 \(0\) 的节点，每次等概率走一条边，问期望步数是多少。

首先根据直觉，肯定有 \(f(u)\) 为 \(u\) 开始的期望步数，转移很容易，\(f(u) = \sum_{v \in G(u)} \frac{1}{|G(u)|} (1 + f(v))\)。

这是符合直觉的，那正着来呢？

其实，假如正向转移，我们可以令 \(f(u)\) 代表从起点到 \(u\) 的期望步数，那么 \(f(u) = (f(v) + 1) \cdot P(u 从 v 转移而来)\)。注意这里 \(\sum P(u 从 v 转移而来) = 1\)。

要想计算 \(P(u 从 v 转移而来)\)，我们需要额外维护一个 \(p(v)\) 代表从起点经过随机游走走到 \(v\) 的概率。

那么在点 \(v\)，它下一步走到 \(u\) 的概率其实是 \(\frac{p(v)}{|G(v)|}\)。我们把所有通向 \(u\) 的点 \(v\) 的这个概率加起来，\(\frac{p(v_1)}{|G(v_1)|}\) 在和里占的比例便是 \(P(u 从 v_1 转移而来)\)。

这就是归一化，看着也很对是吧，思考其中的本质是什么。

考虑反向算法：我们走向的点其实是一个子结构，所以可以直接算平均，这是最符合直觉的做法。

考虑正向做法：在反向做法里，每条路径对应的概率其实随着每次平均被压缩，最后在起点平均时，每条路径对应的概率刚好是正确的。但是正向做法的转移，是依赖 \(p(v)\) 的，因为从 \(v\) 来看，走到 \(u\) 的概率是 \(\frac{1}{|G(v)|}\)，而从 \(u\) 来看，其实是全局上的概率。正向的 \(p(v)\) 计算本质上就是在对反向算法被压缩的概率做一次正向还原。

一些技巧：当需要记录额外状态/出现环的时候，可以把期望拆成每一步来计算。如果出现环，还可以高斯消元计算。