P2144 [FJOI2007] 轮状病毒

DP 宝宝题。

首先我们描述一下要求：即把圆分成若干条圆弧。每个圆弧随便连一个点到中心点上。

因此将所有点编号，我们有一个 DP。\(f(i)\) 为末尾为点 \(i\) 的情况数。\(f(i) = \sum_{j < i} f(j) \times (i - j)\)，意思就是将 \([i,j]\) 划为一段新弧。

但是我们发现这样会漏算，因为 \(f(n)\) 里并没有包含 \(1,n\) 直接连接的情况。

所以，我们考虑以每个点为起点作一次 DP 然后去重。但是我们不需要真的跑 DP，只需要暂时将答案 \(\times n\) 即可。

接下来考虑去重工作。考虑一个方案会被算几次。我们令这个方案中，圆环被划分为了 \(x\) 条弧，那么显然这种方案会被以每个断裂处为起点计算一次，于是这种方案总共被计算了 \(x\) 次。

因此，我们在设计状态时增加划分弧数的维度。即 \(f(i,j)\) 代表前 \(i\) 个点被划分成 \(j\) 段的方案数，转移和上面一样。

答案就是 \(\sum_{i = 1}^{n} \frac{f(n,i) \times n}{i}\)，记得写高精度。

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*/
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define Misaka namespace
#define Network std
using Misaka Network;

struct NUM{
  vector<int> v;
  void op(){
    if(v.empty()) cout << "0";
    else for(int i = v.size() - 1; i >= 0; i --) cout << v[i];
    cout << "\n";
  }
  void mul(int x){
    for(int i = 0; i < v.size(); i ++) v[i] *= x;
    for(int i = 0; i < v.size(); i ++){
      if(v[i] >= 10){
        if(i == v.size() - 1) v.push_back(0);
        v[i + 1] += v[i] / 10;
        v[i] %= 10;
      }
    }
  }
  void div(int x){
    for(int i = v.size() - 1; i >= 0; i --){
      if(i) v[i - 1] += (v[i] % x) * 10;
      v[i] /= x;
    }
    while(v.size() && v.back() == 0) v.pop_back();
  }
};
NUM operator+(NUM &x, NUM &y){
  vector<int> res(max(x.v.size(), y.v.size()) + 3, 0);
  for(int i = 0; i + 1 < res.size(); i ++){
    if(i < x.v.size()) res[i] += x.v[i];
    if(i < y.v.size()) res[i] += y.v[i];
    res[i + 1] += res[i] / 10, res[i] %= 10;
  }
  while(res.size() && res.back() == 0) res.pop_back();
  return {res};
}
const int N = 107;
int n;
NUM f[N][N];

signed main(){
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  
  cin >> n;
  f[0][0].v.push_back(1);

  for(int j = 1; j <= n; j ++){
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
      for(int k = 0; k < i; k ++){
        NUM tmp = f[k][j - 1]; tmp.mul(i - k);
        f[i][j] = f[i][j] + tmp;
      }
    }
  }

  NUM ans;
  for(int i = 1; i <= n; i ++){
    NUM tmp = f[n][i]; tmp.mul(n);
    tmp.div(i); ans = ans + tmp; 
  }
  ans.op();

  return 0;
}