一个随机化的线索：至少一半

做了几道相像的题，总结了一个随机化可能的线索：找一个参数，使得数组中合法数数量大于一半（或者某个比较大的分数也行）。

AT_abc422_e

给定平面上的 \(N\) 个点（\(N\) 为奇数），问是否存在一条直线经过其中多于 \(\dfrac{N}{2}\) 个点。

我们假设直线存在，那么随便选一个点，它在这条直线上的概率是 \(\frac{1}{2}\)。那么随便选两个点确定一条直线，这条直线满足题意的概率就是 \(\frac{1}{4}\)。多随机几遍直线即可，错误概率是 \((\frac{3}{4} )^ k\)。

CF1523D

一共有 \(m\) 个元素，给你 \(n\) 个集合，每个集合的元素不超过 \(15\) 个。求出一个元素个数最多的集合 \(T\)，使得 \(T\) 是至少 \(\left\lceil \dfrac{n}{2} \right\rceil\) 个给定集合的子集。

我们想象那个最大的集合 \(T\)，那么 \(n\) 个集合中随便选一集合 \(S\)，那么 \(T \subseteq S\) 的概率是 \(\frac{1}{2}\)，于是，我们枚举 \(S\) 的子集，验证后取最大值。随机枚举 \(k\) 个不同集合的子集，找不到最大子集的概率是 \((\frac{1}{2}) ^ k\)。

总结

对比暴力做法（枚举每一对点/枚举每一个集合的子集）可以发现，这两题里，正是因为“一半”够大，错误率随枚举次数指数级降低，所以才允许枚举的点对/集合数量缩小到 \(\mathcal{O}(\log)\) 级别。这也算一种 \(\mathcal{O}(n ^ 2) \to \mathcal{O}(n \log n)\) 的优化。