SOSDP 学习笔记

模板题：给定集合 \(S\)，每次询问求 \(S\) 中在二进制下满足 \(x|k = k\) 的 \(x\) 总和。

先介绍高维前缀和：在二维前缀和里，我们是这样计算的。

pre[i][j] = a[i][j] + a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];

这本质上是一种容斥。这样教的原因，是因为快速求矩阵和很方便。

但是当维度升高，这样做的复杂度指数级上升。

于是我们可以这样写：

for(int i = 1; i <= n; i ++)
	for(int j = 1; j <= m; j ++) pre[i][j] += pre[i - 1][j];
for(int i = 1; i <= n; i ++)
	for(int j = 1; j <= m; j ++) pre[i][j] += pre[i][j - 1];

复杂度是 \(\mathcal{O}(kV)\) 的，\(k\) 代表维数，\(V\) 代表总共的元素数，这里 \(=nm\)。

回到问题，\(x|k = k\) 的 \(x\) 就是二进制下属于 \(k\) 的数。我们把每一位看作一维，既然每一维都是 \(\le k\) 的，那么显然，所有满足条件的 \(x\)，就是 \(k\) 二进制下的前缀和。

前缀和计算代码：

for(int i = 1, w = 1; i <= k; i ++, w <<= 1)//k 是维数，这里遍历每一维
	for(int j = 1; j <= mask; j ++)//这里遍历前缀和数组的每一个元素
		if(j & w) f[j] += f[j - w];//在这一维下进行前缀和运算

这样查询就是 \(\mathcal{O}(1)\) 的了。