AtCoder Beginner Contest 467 补题

A - Obesity

注意不要用浮点数。

B - Keep the Change

如果 $s_i = $keep，那么答案累加 \(b_i - a_i\) 即可。

C & E - Adjacent Sums

我们令 \(a_i\) 被操作的次数为 \(x_i\)。

考虑简单版本（\(m = 2\)）。

不难发现，一旦 \(x_i\) 被确定，那么剩下点的最小取值也都被确定了。

我们直接枚举 \(x_i\) 即可，对数组进行两次遍历就好了。

接着，考虑困难版本（\(m \le 10^9\)）。

同样地，因为我们有 \(0 \le x_i < m\)，那么其实所有的数也是可以直接通过 \(x_1\) 确定的。

那么，整个代价就变成了一个关于 \(x_1\) 的函数了，我们要求的是这个函数的最小值。

我们令 \(c_i = (b_i - (a_i + a_{i + 1})) \mod m\)，那么我们有 \(c_i = (x_i + x_{i + 1}) \mod m\)。

于是 \(x_{i + 1} = (c_i - x_i) \mod m\)。

我们令刚刚提到的函数为 \(f\)，那么 \(f(x) = \sum_{i = 1}^{n} x_i\)，我们观察 \(x_i\) 的规律（模 \(m\) 意义下）：

• \(x_1 = t\)。

• \(x_2 = c_1 - t\)。

• \(x_3 = c_2 - c_1 + t\)。

• \(x_4 = c_3 - c_2 + c_1 - t\)。

所以，我们发现 \(x_i = \pm t + c 的交替和\)。在 \(t\) 在 \([0,m)\) 上的变化中，每个 \(x_i\) 都会出现一次因为模 \(m\) 而骤增/骤降的情况，我们只需要计算这些点附近，可能为最小值的 \(f\) 值即可。

那找到这 \(n\) 个点之后，如何快速计算此时的 \(f\) 值呢？

我们先找到所有的询问点，然后排序。这样，函数发生的每一次突变带来的变化量，我们就可以前缀和统计了。最后加上初始值就好了。

D - Concentric Circles

这是一道简单的几何题。题目给出的东西等价于两条线段。我们只需要判断这两条线段是否有公共点即可，即是否【不平行或重合】。

F - Email Scheduling Optimization

这个一眼看上去确定大体思路：确定贪心策略，数据结构维护。

我们不难想到，尝试邻项交换法。

如果 \(i\)，\(j\) 交换后不劣，则有 \(\max(a_i + a_j + b_j, a_i + b_i) > \max(a_j + a_i + b_i, a_j + b_j)\)。

不难发现直接将 \(b_i > b_j\) 代进去就是对的，这里讲讲咋推。

首先，处理 \(\max(a,b) < \max(c,d)\) 式，我们可以尝试将式子等价为 \(a < \max(c,d)\) 且 \(b < \max(c,d)\)。于是我们有：

• \(a_j + b_j < \max(a_i + a_j + b_j, a_i + b_i)\)。不难发现这个恒成立。

• \(a_j + a_i + b_i < \max(a_i + a_j + b_j, a_i + b_i)\)，\(\mathrm{LHS}\) 一定大于右边第二项，所以 \(a_j + a_i + b_i < a_i + a_j + b_j\)，即 \(b_i < b_j\)。

所以我们得到 \(b_i < b_j\) 时，交换 \(i\)，\(j\) 一定更优。

于是按照 \(b\) 为关键字排序，我们可以计算出最终结果。

维护是简单的，使用平衡树或者线段树均可。

G - Many Sweets Problem

这个其实很模板。考虑，如果这个查询是静态的，那么我们可以在线段树上套 vector，存储每个节点代表的区间里面的所有数，然后二分最小值。

但是这题带修，于是我们可以树套树，具体地，在外层的权值线段树上套内层的树，内层维护表达在某一个范围的数在哪些位置出现，以及它们贡献的区间和，查询直接在外层的线段树上二分糖的最小值即可，可以顺便统计吃了多少糖。

修改和查询均是 \(\mathcal{O}(\log ^ 2 n)\) 的。