酒店之王解题报告
（一）前置技能
1.网络流最大流（\(dinic\), \(Edmonds-Karp\)都可以）
2.建图（邻接链表，反向边^1的小技巧）
达成了 1 阅读本文将很轻松，达成了 2 阅读代码将很轻松
（二）题目描述
简单地阐述一下题意：
有 \(n\) 个 \(A\) 类节点，\(p\) 个 \(B\) 类节点， \(q\) 个 \(C\) 类节点。每个 \(A\) 与一个 \(B\) 和一个 \(C\) 构成一组匹配（每个\(A\)只能与给定的\(B\)、\(C\)匹配，且每个\(B\)、\(C\)只能匹配一个\(A\)）,求最大匹配数。
（三）解题思路
简化之后的题意很像二分图匹配，二分图匹配是一个点匹配一个点，而本题是一个点匹配两个点。
起先，我是想将 \(A\) 类节点放在左边，\(B\) 类节点放中， \(C\) 类最右。顺着题意用\(A\)匹配\(B\)和\(C\)的，然后发现，这样子根本无法建图!!!
因为题目只给出了\(A\)——\(B\), \(A\)——\(C\)的关系，根本不知道\(B\)与\(C\)的关系。倘若按上面方式建图的话，\(B\)和\(C\)就会成为并列的节点。很明显这是不符合题意的。
那该如何建图呢?
既然已经知道\(B\)与\(A\)的关系、\(A\)与\(C\)的关系，不妨直接将\(A\)放在中间，\(RT\):
如此，得到了一张三分图，再求此图的最大匹配即可。
方法一：匈牙利算法
从\(A\)出发直接向\(B\)和\(C\)跑两次二分图匹配即可。这里不作详细解释。
方法二：网络流最大流
按照网络流的正常操作，建立一个超级源点\(S\)，连接所有\(B\)，流量为1; 建立一个超级汇点\(T\), 使所有\(C\)都连向\(T\)，流量为1。再根据题目所给的关系连接\(B\)——\(A\)、\(A\)——\(C\)。
可能很多同学看到这里都会想：会了会了，然后再跑网络流最大流嘛。
不要以为这样就可以了。这可是三分图匹配呀，哪有那么简单!
看下面这幅图你就会知道哪里错了。
如果光是按上述方法建图的话，那么图就会变成上面那样，最大流跑出来是2。
然而我们知道，最大流不能是2，因为任意\(B\)、\(C\)只能匹配一个\(A\)。
如何解决上述问题呢?
很简单，只需要将\(A\)拆分为两个点即可，\(RT\)。
连接\(A\)和\(A'\),流量为1。
即可避免多个\(B\)、\(C\)重复匹配一个\(A\)的情况了。
终于可以上代码了：（我太菜了,不会\(dinic\),所以只能写\(E-K\)了）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 105, maxm = 10000005, INF = 2147483647;
int head[maxn<<2], ver[maxm], edge[maxm], Next[maxm], tot;
void add(int x,int y,int z)
{
ver[++tot] = y, edge[tot] = z, Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
ver[++tot] = x, edge[tot] = 0, Next[tot] = head[y], head[y] = tot;
}
int n, p, q;
//A：1~n, B：n+1~n+p, C：n+p+1~n+p+q, A'：n+p+q+1~n+p+q+n
int s, t, maxflow, incf[maxn<<2], pre[maxn<<2];bool vis[maxn<<2];
bool bfs()
{
for(int i=1; i<=n+p+q+n+2; i++) vis[i] = false;
queue<int> Q;
Q.push(s), vis[s] = true, incf[s] = INF;
while(!Q.empty())
{
int x = Q.front(); Q.pop();
for(int i=head[x]; i; i=Next[i])
if(edge[i])
{
int y = ver[i];
if(vis[y]) continue;
incf[y] = min(incf[x], edge[i]), pre[y] = i;
vis[y] = true;
if(y == t) return true;
Q.push(y);
}
}
return false;
}
void update()
{
int x = t;
while(x!=s)
{
int i = pre[x];
edge[i] -= incf[t];
edge[i^1] += incf[t];
x = ver[i^1];
}
maxflow+=incf[t];
}
int main()
{
tot = 1;
scanf("%d%d%d",&n,&p,&q);
s = n+p+q+n+1, t = n+p+q+n+2;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=p; j++)
{
bool x;
scanf("%d",&x);
if(x) add(j+n, i, 1);
}
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=q; j++)
{
bool x;
scanf("%d",&x);
if(x) add(i+n+p+q, j+n+p, 1);
}
for(int i=1; i<=p; i++) add(s, i+n, 1);
for(int i=1; i<=q; i++) add(i+n+p, t, 1);
for(int i=1; i<=n; i++) add(i, i+n+p+q, 1);
while(bfs()) update();
printf("%d", maxflow);
return 0;
}
（四）总结
这道题是一道非常好的题目，它的建图方式很新颖。
网络流的题目考的无非就是建图，只要把图建好了，还有什么题搞不掂?
